7
معطيات التمرين
SABCD هرم منتظم قاعدته المربع ABCD حيث AB = 3√2
O مركز المربع ABCD و [SO] ارتفاع الهرم حيث SO = 4
O مركز المربع ABCD و [SO] ارتفاع الهرم حيث SO = 4
1
احسب OA
✓ التصحيح
ABCD مربع مركزه O إذن O منتصف [AC] و [BD]:
OA = AC/2 = (√2 × AB)/2 = (√2 × 3√2)/2 = 6/2 = 3
OA = 3
أ.
بيّن أن المثلث SOA قائم في O
✓ التصحيح
- SABCD هرم منتظم قاعدته مربع مركزه O وارتفاعه [SO]
- إذن (SO) ⊥ (ABC) و (OA) ⊂ (ABC)
(SO) ⊥ (OA) → المثلث SOA قائم في O
ب.
استنتج أن SA = 5
✓ التصحيح
SA² = SO² + OA² = 4² + 3² = 16 + 9 = 25
SA = 5
3
لتكن H المسقط العمودي لـO على (SA). احسب OH
✓ التصحيح
SOA قائم في O إذن OH.SA = SO.OA ومنه:
OH = (SO × OA) / SA = (4 × 3) / 5 = 12/5
OH = 12/5
أ.
بيّن أن (BD) عمودي على (SAC)
✓ التصحيح
- ABCD مربع مركزه O إذن (AC) و (BD) متعامدان في منتصفيهما O
- (SO) ⊥ (ABC) إذن (SO) ⊥ (BD)
- (AC) ⊥ (BD) (قطرا المربع)
- (SO) ⊂ (SAC) و (AC) ⊂ (SAC) و (BD) ∩ (AC) ∩ (SO) = {O}
(BD) ⊥ (SAC)
ب.
استنتج أن BH = 3√21/5
✓ التصحيح
- (OH) ⊂ (SAC) و (BD) ⊥ (SAC)
- إذن (BD) ⊥ (OH)
- (BD) ⊥ (SAC) إذن (BD) ⊥ (OB) (OB ⊂ ABC ⊃ SAC)
المثلث OBH قائم في O:
BH² = OB² + OH² = 3² + (12/5)² = 9 + 144/25 = 225/25 + 144/25 = 369/25
BH = √(369/25) = 3√41/5
ملاحظة: راجع الكتاب للتحقق من القيمة المعطاة 3√21/5