تمرين عدد 6 - التعامد في الفضاء

معطيات التمرين

يمثل الرسم التالي موشورا قائما ABCDEFGH و ABCD شبه منحرف قاعدتاه [BC] و [AD]
و BC = CD = I و AD و I نقطة من [BC] بحيث CI = AD/2
(AI) يقطع (CD) في M

السؤال 1

أ.

بيّن أن (FB)⊥(ABC)

✓ التصحيح

ABCDEFGH موشور قائم إذن FBAE و FBCG مستطيلان:

(FB) ⊥ (AB) (FBAE مستطيل)
(FB) ⊥ (BC) (FBCG مستطيل)
(AB) ⊂ (ABC) و (BC) ⊂ (ABC)
(FB) ∩ (AB) ∩ (BC) = {B}

(FB) ⊥ (ABC)

ب.

استنتج أن (FB)⊥(BM)

✓ التصحيح

M ∈ (CD) ⊂ (ABC) إذن M ∈ (ABC)
B ∈ (ABC) إذن (BM) ⊂ (ABC)
(FB) ⊥ (ABC)

(FB) ⊥ (BM)

السؤال 2

أ.

بيّن أن C منتصف [MD]

✓ التصحيح

في المثلث MAD: I ∈ [MA] و C ∈ [MD] و (CI)//(AD) (لأن شبه المنحرف ABCD)

حسب مبرهنة طاليس:

MC/MD = CI/AD = (AD/2)/AD = 1/2

MC = (1/2) MD \to C منتصف [MD]

ب.

استنتج أن المثلث MBD قائم الزاوية في B

✓ التصحيح

C منتصف [MD] و في المثلث MBD
CM = CD = CB إذن C يساوي بُعده عن الرؤوس الثلاثة
C مركز الدائرة المحيطة بالمثلث MBD إذن [MD] قطر

المثلث MBD قائم في B

ج.

بيّن أن (BM)⊥(BH)

✓ التصحيح

(BM) ⊥ (FB) و (BM) ⊥ (BD) (MBD قائم في B)
(FB) ⊂ (FBD) و (BD) ⊂ (FBD)
(FB) ∩ (BD) = {B}

(BM) ⊥ (FBD)

بما أن (BH) ⊂ (FBD) إذن (BM) ⊥ (BH)

السؤال 3

—

لتكن N منتصف [HM]. بيّن أن المثلث NBD متقايس الضلعين

✓ التصحيح

BMH قائم في B و N منتصف [HM] إذن:

BN = MN = HN = HM/2

CDHG مستطيل وMDH قائم في D وN منتصف [HM] إذن:

DN = MN = HN = HM/2

من (1) و (2): BN = ND

المثلث NBD متقايس الضلعين في N