4
معطيات التمرين
نعتبر هرما SABCD قاعدته المربع ABCD مركزه O حيث SA = AB = 4
و (SA)⊥(ABC)
E منتصف [SB] و F منتصف [SD] و L نقطة من [OC]
H و I مناظرة L بالنسبة إلى I و L بالنسبة إلى L معين ELFH
و (SA)⊥(ABC)
E منتصف [SB] و F منتصف [SD] و L نقطة من [OC]
H و I مناظرة L بالنسبة إلى I و L بالنسبة إلى L معين ELFH
السؤال 1
أ.
احسب AO و SO و SB
✓ التصحيح
ABCD مربع مركزه O إذن O منتصف [AC] و [BD] ولنا:
AO = AC/2 = (√2 × AB)/2 = (√2 × 4)/2 = 2√2
SAO قائم في A:
SO² = SA² + AO² = 16 + 8 = 24 → SO = 2√6
SAB قائم في A:
SB² = SA² + AB² = 16 + 16 = 32 → SB = 4√2
ب.
استنتج أن المثلث SOB مثلث قائم
✓ التصحيح
SO² + OB² = 24 + 8 = 32 = SB²
حسب عكس فيثاغور: المثلث SOB قائم في O
السؤال 2
2
بيّن أن (SAC)⊥(DB)
✓ التصحيح
- (SO) ⊂ (SAC) و (AC) ⊂ (SAC)
- (BD) ⊥ (SO) لأن SO ارتفاع مثلث متقايس الضلعين SBD
- (BD) ⊥ (AC) لأن ABCD مربع وقطراه متعامدان
- (BD) ∩ (SO) ∩ (AC) = {O}
(DB) ⊥ (SAC)
السؤال 3
3
E منتصف [SB] و F منتصف [SD] و L نقطة من [OC]
(EF) يقطع (SO) في I و H مناظرة L بالنسبة إلى I. بيّن أن ELFH معين
(EF) يقطع (SO) في I و H مناظرة L بالنسبة إلى I. بيّن أن ELFH معين
✓ التصحيح
- في المثلث SBD: E منتصف [SB]، F منتصف [SD] إذن (EF)//(BD) و EF = BD/2
- I على (SO) أي على محور تماثل SBD إذن I منتصف [EF]
- H مناظرة L بالنسبة إلى I إذن I منتصف [LH]
- ELFH رباعي قطراه [EF] و [LH] يتقاطعان في منتصفيهما I
ELFH معين