الهرم ذو القاعدة المعينية · نظرية الخط العمودي على المستوى · نظرية الأعمدة الثلاثة
3
معطيات التمرين
في الرسم المصاحب SABCD هرما قاعدته المعين ABCD مركزه O حيث المثلث ABD متقايس الأضلاع قيسه 4cm
و (SA)⊥(ABC) و SA = 8cm
اعتمد النظريتين: نظرية الخط العمودي على المستوى · نظرية الأعمدة الثلاثة
الشكل الأساسي: الهرم SABCD وقاعدة معيّنة
السؤال 1
1
بيّن أن (SA)⊥(AC) ثم استنتج SC
السؤال 1: إبراز AC و SC
✓ التصحيح
(SA) ⊥ (ABC) إذن SA عمودي على كل مستقيم من (ABC) يمر بـ A
AC ⊂ (ABC) و A ∈ (AC) إذن (SA)⊥(AC)
المثلث ABD متقايس الأضلاع قيسه 4، إذن AC = BD = 4√3 (قطرا المعين)
AC = 2 × AO = 2 × (√3/2 × 4) = 4√3
المثلث SAC قائم في A:
SC² = SA² + AC² = 64 + 48 = 112
SC = 4√7
السؤال 2
أ.
بيّن أن SBD متقايس الضلعين في S ثم احسب SO
السؤال 2 أ: المثلث SBD والارتفاع SO
✓ التصحيح
(SA)⊥(ABC) إذن SA ⊥ AB و SA ⊥ AD
SA = 8، AB = AD = 4 إذن SB = SD (بالفيثاغور في SAB وSAD)
المثلث SBD متقايس الضلعين من رأسه S
SB² = SA² + AB² = 64 + 16 = 80 → SB = 4√5
O مركز المعين ABCD إذن O منتصف [BD] و [SO] ارتفاع المثلث SBD:
SO² = SB² − OB² = 80 − 4 = 76
SO = 2√19
ب.
استنتج أن (SOA)⊥(BD)
السؤال 2 ب: المستوى (SOA) والعمود BD
✓ التصحيح
(AC)⊂(SOA) و (SO)⊂(SOA)
(BD)∩(SO)∩(AC) = {O}
(AC)⊥(BD) (قطرا المعين) و (SO)⊥(BD)
(BD)⊥(SOA)
السؤال 3
أ.
لتكن I منتصف [CD] و K منتصف [SC] و I' منتصف [BC]. احسب IK
السؤال 3 أ: إضافة I و K و I'
✓ التصحيح
في المثلث SDC:
K منتصف [SC] و I منتصف [DC]
إذن (KI)//(SD) و KI = SD/2
SD = 4√5 → KI = 2√5
ب.
بيّن أن الرباعي OI'CI معين ثم احسب KJ
السؤال 3 ب: إضافة المعين OI'CI والنقطة J
✓ التصحيح
IC = DC/2 = 2 ؛ I'C = BC/2 = 4
في المثلث ABC: O منتصف [AC]، I' منتصف [BC] إذن (OI')//(AB) و OI' = 2
بما أن (OI')//(AB)//(DC) و (OI')//(IC) و OI' = IC = 2 → OICI' معين