نعتبر هرما SABCD قاعدته المعين ABCD مركزه O، والمثلث ABD متقايس الأضلاع طول ضلعه 4cm، و(SA)⊥(ABC) وSA=8cm.
السؤال 1
1) بيّن أن (SA)⊥(AC) ثم استنتج SC
✓ التصحيح
- (SA) ⊥ (ABC) إذن SA عمودي على كل مستقيم من (ABC) يمر بـ A
- AC ⊂ (ABC) و A ∈ (AC) إذن (SA)⊥(AC)
- المثلث ABD متقايس الأضلاع قيسه 4، إذن AC = BD = 4√3 (قطرا المعين)
AC = 2 × AO = 2 × (√3/2 × 4) = 4√3
المثلث SAC قائم في A:
SC² = SA² + AC² = 64 + 48 = 112
SC = 4√7
السؤال 2
أ. بيّن أن SBD متقايس الضلعين في S ثم احسب SO
✓ التصحيح
- (SA)⊥(ABC) إذن SA ⊥ AB و SA ⊥ AD
- SA = 8، AB = AD = 4 إذن SB = SD (بالفيثاغور في SAB وSAD)
- المثلث SBD متقايس الضلعين من رأسه S
SB² = SA² + AB² = 64 + 16 = 80 → SB = 4√5
O مركز المعين ABCD إذن O منتصف [BD] و [SO] ارتفاع المثلث SBD:
SO² = SB² − OB² = 80 − 4 = 76
SO = 2√19
ب. استنتج أن (SOA)⊥(BD)
✓ التصحيح
- (AC)⊂(SOA) و (SO)⊂(SOA)
- (BD)∩(SO)∩(AC) = {O}
- (AC)⊥(BD) (قطرا المعين) و (SO)⊥(BD)
(BD)⊥(SOA)
السؤال 3
أ. لتكن I منتصف [CD] و K منتصف [SC] و I' منتصف [BC]. احسب IK
✓ التصحيح
في المثلث SDC:
- K منتصف [SC] و I منتصف [DC]
- إذن (KI)//(SD) و KI = SD/2
SD = 4√5 → KI = 2√5
ب. بيّن أن الرباعي OI'CI معين ثم احسب KJ
✓ التصحيح
IC = DC/2 = 2 ؛ I'C = BC/2 = 4
في المثلث ABC: O منتصف [AC]، I' منتصف [BC] إذن (OI')//(AB) و OI' = 2
بما أن (OI')//(AB)//(DC) و (OI')//(IC) و OI' = IC = 2 → OICI' معين
J مركز المعين OICI' إذن J منتصف [OC] و [I'I]
في المثلث SOC: K منتصف [SC]، J منتصف [OC] إذن:
JK = SO/2 = √19 ؛ KJ = √19
السؤال 4
4) بيّن أن المثلث KJI قائم
✓ التصحيح
KI² = 20 ؛ KJ² = 19 ؛ IJ² = 1
KJ² + IJ² = 19 + 1 = 20 = KI²
حسب عكس نظرية فيثاغور: المثلث KJI قائم في J