نعتبر هرماً \(SABC\) قمّته \(S\) وقاعدته المثلّث \(ABC\) القائم الزاوية في \(A\)، حيث \((SA)\) عمودي على \((AB)\) و\(AB=SA=4\) و\(AC=6\) و\(SC=2\sqrt{13}\).
1. أ) بيّن أنّ \(SAC\) مثلّث قائم الزاوية.
ب) استنتج أنّ \((SA)\) عمودي على المستوي \((ABC)\).
ج) احسب حجم الهرم \(SABC\).
2. لتكن \(E\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\)، و\(F\) مناظرة \(S\) بالنسبة إلى \(A\).
أ) بيّن أنّ الرباعي \(EFBS\) مربّع.
ب) استنتج أنّ \(CEFBS\) هرم منتظم قمّته \(C\).
السؤال 1: أ) بيّن أنّ \(SAC\) قائم الزاوية. ب) استنتج أنّ \((SA)\perp(ABC)\). ج) احسب حجم الهرم \(SABC\).
أ) عكس نظرية فيثاغورس: إذا كان مربّع أطول ضلع يساوي مجموع مربّعَي الضلعين الآخرين فالمثلّث قائم الزاوية.
\(SC^2 = (2\sqrt{13})^2 = 4\times 13 = 52\)، و\(SA^2 + AC^2 = 4^2 + 6^2 = 16 + 36 = 52\). بما أنّ \(SC^2 = SA^2 + AC^2\) فإنّ \(SAC\) قائم الزاوية في \(A\).
ب) إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
\((SA)\perp(AB)\) حسب المعطيات، و\((SA)\perp(AC)\) لأنّ \(SAC\) قائم في \(A\). والمستقيمان \((AB)\) و\((AC)\) متقاطعان في \(A\) ومحتويان في المستوي \((ABC)\)، إذن \((SA)\perp(ABC)\).
ج) حجم الهرم \(=\dfrac{1}{3}\times\) مساحة القاعدة \(\times\) الارتفاع.
مساحة القاعدة \(ABC\) القائمة في \(A\): \(\mathcal{A}=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{4\times 6}{2}=12\). الارتفاع هو \(SA=4\) لأنّ \((SA)\perp(ABC)\).
\(V=\dfrac{1}{3}\times 12\times 4 = 16\).
✓ \(SAC\) قائم في \(A\)، و\((SA)\perp(ABC)\)، و\(V=16\ \text{cm}^3\).
⚠️ الارتفاع هو \(SA\) (العمودي على القاعدة) وليس الحرف المائل \(SC\)؛ ومساحة المثلّث القائم تُقسم على \(2\).
السؤال 2: \(E\) مناظرة \(B\) و\(F\) مناظرة \(S\) بالنسبة إلى \(A\). أ) بيّن أنّ \(EFBS\) مربّع. ب) استنتج أنّ \(CEFBS\) هرم منتظم قمّته \(C\).
أ) رباعي قطراه متناصفان ومتقايسان ومتعامدان هو مربّع.
بما أنّ \(E\) مناظرة \(B\) بالنسبة إلى \(A\) فإنّ \(A\) منتصف \([EB]\) و\(EB=2\,AB=8\). وبما أنّ \(F\) مناظرة \(S\) بالنسبة إلى \(A\) فإنّ \(A\) منتصف \([SF]\) و\(SF=2\,SA=8\).
قطرا الرباعي \(EFBS\) هما \([EB]\) و\([SF]\)، يتقاطعان في منتصفهما المشترك \(A\) (متناصفان)، وطولاهما متساويان \(EB=SF=8\) (متقايسان)، وهما متعامدان لأنّ \((EB)\) يحمل \((AB)\) و\((SF)\) يحمل \((SA)\) و\((SA)\perp(AB)\).
إذن \(EFBS\) مربّع، طول ضلعه \(EF=\sqrt{AE^2+AF^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\).
ب) الهرم منتظم إذا كانت قاعدته مضلّعاً منتظماً، وأحرفه الجانبية متقايسة، وقمّته تُسقط على مركز القاعدة.
قاعدة \(CEFBS\) هي المربّع \(EFBS\) (مضلّع منتظم) ومركزه \(A\). ولدينا \((AC)\perp(AB)\) و\((AC)\perp(AS)\) والمستقيمان \((AB)\) و\((AS)\) متقاطعان في \(A\) ومحتويان في مستوي المربّع، إذن \((AC)\perp(EFBS)\) أي القمّة \(C\) تُسقط على المركز \(A\).
الأحرف الجانبية قائمة في \(A\): \(CE=\sqrt{AC^2+AE^2}=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}\)، وبالمثل \(CB=CS=CF=\sqrt{36+16}=2\sqrt{13}\)، فهي متقايسة.
✓ \(EFBS\) مربّع، و\(CEFBS\) هرم منتظم قمّته \(C\) وأحرفه الجانبية تساوي \(2\sqrt{13}\).
⚠️ تناصف القطرين وحده يعطي متوازي أضلاع فقط؛ يجب إضافة التقايس (مستطيل) والتعامد (معيّن) للحصول على مربّع.