نعتبر هرما ثلاثيّا \(SABC\) قاعدته \(ABC\) مثلّث قائم الزاوية في \(A\) وارتفاعه \([SB]\)، حيث (وحدة القيس هي الصنتمتر):
\(SB=4\) و\(BC=5\) و\(AB=3\).
1. أ) بيّن أنّ \(AC=4\) و\(SA=5\) و\(SC=\sqrt{41}\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(SAC\) قائم الزاوية في \(A\).
2. بيّن أنّ \((AC)\perp(SAB)\).
3. لتكن \(I\) منتصف الضلع \([SB]\) و\(J\) منتصف الضلع \([SC]\). بيّن أنّ المثلّث \(ACI\) قائم الزاوية في \(A\).
4. بيّن أنّ \((IJ)\;//\;(ABC)\).
السؤال 1: أ) بيّن أنّ \(AC=4\) و\(SA=5\) و\(SC=\sqrt{41}\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(SAC\) قائم الزاوية في \(A\).
القاعدة \(ABC\) قائمة الزاوية في \(A\)، والارتفاع \([SB]\) عمودي على مستوي القاعدة فيكون عموديا على \((AB)\) و\((BC)\)؛ نطبّق نظرية فيثاغورس.
في المثلّث \(ABC\) القائم في \(A\): \(AC^2=BC^2-AB^2=5^2-3^2=25-9=16\)، إذن \(AC=4\).
\((SB)\perp(AB)\) فالمثلّث \(SAB\) قائم في \(B\): \(SA^2=SB^2+AB^2=4^2+3^2=16+9=25\)، إذن \(SA=5\).
\((SB)\perp(BC)\) فالمثلّث \(SBC\) قائم في \(B\): \(SC^2=SB^2+BC^2=4^2+5^2=16+25=41\)، إذن \(SC=\sqrt{41}\).
ب) نلاحظ أنّ \(SA^2+AC^2=25+16=41=SC^2\).
✓ \(AC=4\) و\(SA=5\) و\(SC=\sqrt{41}\)، وحسب عكس نظرية فيثاغورس فإنّ المثلّث \(SAC\) قائم الزاوية في \(A\).
⚠️ في المثلّث \(SBC\) الوتر هو \(SC\) وليس \(BC\)، لأنّ الزاوية القائمة في \(B\)؛ فلا تكتب \(SC^2=SB^2-BC^2\).
السؤال 2: بيّن أنّ \((AC)\perp(SAB)\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
\((AC)\perp(AB)\) لأنّ المثلّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(A\).
\((AC)\perp(SB)\) لأنّ \((SB)\perp(ABC)\) (الارتفاع) و\((AC)\subset(ABC)\).
المستقيمان \((AB)\) و\((SB)\) متقاطعان في \(B\) ومحتويان في المستوي \((SAB)\).
✓ إذن \((AC)\perp(SAB)\).
⚠️ لا تكتفِ بعمودية \((AC)\) على \((AB)\) وحده؛ لا بدّ من عموديتها على مستقيمين متقاطعين من \((SAB)\).
السؤال 3: لتكن \(I\) منتصف \([SB]\) و\(J\) منتصف \([SC]\). بيّن أنّ المثلّث \(ACI\) قائم الزاوية في \(A\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
بيّنّا في السؤال 2 أنّ \((AC)\perp(SAB)\).
النقطة \(I\) منتصف \([SB]\) و\([SB]\subset(SAB)\)، إذن \(I\in(SAB)\) و\((AI)\subset(SAB)\)، وبالتالي \((AC)\perp(AI)\).
✓ الزاوية \(\widehat{IAC}\) قائمة، إذن المثلّث \(ACI\) قائم الزاوية في \(A\).
⚠️ الزاوية القائمة في الرأس \(A\) وليست في \(I\)؛ العمودية هي بين \((AC)\) و\((AI)\).
السؤال 4: بيّن أنّ \((IJ)\;//\;(ABC)\).
مبرهنة المنتصفات: القطعة الواصلة بين منتصفَي ضلعين من مثلّث توازي الضلع الثالث.
في المثلّث \(SBC\): \(I\) منتصف \([SB]\) و\(J\) منتصف \([SC]\)، إذن \((IJ)\;//\;(BC)\).
إذا كان مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوٍ ولا ينتمي إليه فهو يوازي هذا المستوي.
المستقيم \((BC)\) محتوى في المستوي \((ABC)\)، و\((IJ)\) يوازيه ولا ينتمي إليه.
✓ إذن \((IJ)\;//\;(ABC)\).
⚠️ \((IJ)\) يوازي المستوي \((ABC)\) لكنّه غير محتوى فيه؛ التوازي مستنتج من \((IJ)\;//\;(BC)\) مع \((BC)\subset(ABC)\).