يمثّل الرسم المنظور المرفق مجسّما مكوّنا من:
• مكعّب \(ABCDEFGH\) قيس حرفه \(3\) صم،
• وهرم رباعي منتظم رأسه \(S\) قاعدته الوجه \(ADHE\) من المكعّب وارتفاعه \(SO=3\) صم، حيث \(O\) مركز المربّع \(ADHE\).
1. أحسب البعد \(AO\) ثمّ استنتج أنّ \(SA=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
2. لتكن \(I\) منتصف قطر المكعّب \([AG]\).
أ) أحسب البعد \(AI\).
ب) أحسب البعد \(OI\).
3. أ) بيّن أنّ \((GH)\,//\,(SO)\).
ب) بيّن أنّ النقاط \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
4. استنتج أنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
5. لتكن \(K\) المسقط العمودي للنقطة \(H\) على المستقيم \((OG)\). أحسب \(OK\).
6. هل الهرم \(EDGH\) الذي رأسه \(H\) هرم منتظم؟
السؤال 1: أحسب البعد \(AO\) ثمّ استنتج أنّ \(SA=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
\(O\) مركز المربّع \(ADHE\) فهو منتصف قطريه، و\(SO\) ارتفاع الهرم إذن \((SO)\perp(ADHE)\).
قطر المربّع \(ADHE\): \(AH=AD\cdot\sqrt{2}=3\sqrt{2}\)، إذن \(AO=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
بما أنّ \((SO)\perp(ADHE)\) و\([AO]\subset(ADHE)\) فإنّ المثلّث \(SOA\) قائم الزاوية في \(O\)، وحسب نظرية فيثاغورس: \(SA^2=SO^2+AO^2=3^2+\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2=9+\dfrac{9}{2}=\dfrac{27}{2}\).
✓ \(AO=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) و\(SA=\sqrt{\dfrac{27}{2}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
⚠️ \(\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{9\times 2}{4}=\dfrac{9}{2}\) وليس \(\dfrac{9}{4}\)؛ يجب تربيع البسط كاملا.
السؤال 2: \(I\) منتصف قطر المكعّب \([AG]\). أ) أحسب \(AI\). ب) أحسب \(OI\).
أ) \([AG]\) قطر المكعّب؛ نحسبه بتطبيق نظرية فيثاغورس مرّتين.
\([AC]\) قطر الوجه \(ABCD\): \(AC^2=AB^2+BC^2=9+9=18\) إذن \(AC=3\sqrt{2}\). وبما أنّ \((CG)\perp(ABCD)\) فالمثلّث \(ACG\) قائم في \(C\): \(AG^2=AC^2+CG^2=18+9=27\) إذن \(AG=3\sqrt{3}\).
\(I\) منتصف \([AG]\) إذن \(AI=\dfrac{AG}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\).
ب) \(O\) مركز الوجه \(ADHE\) و\(I\) مركز المكعّب، فالمستقيم \((OI)\) عمودي على \((ADHE)\) و\([AO]\subset(ADHE)\): المثلّث \(AOI\) قائم الزاوية في \(O\).
\(OI^2=AI^2-AO^2=\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2-\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{27}{4}-\dfrac{18}{4}=\dfrac{9}{4}\) إذن \(OI=\dfrac{3}{2}\).
✓ \(AI=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) و\(OI=\dfrac{3}{2}\).
⚠️ \(OI\) ليس نصف \(AI\)؛ فالمثلّث \(AOI\) قائم في \(O\) (وليس في \(I\))، لذلك نستعمل الطرح في فيثاغورس.
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((GH)\,//\,(SO)\). ب) بيّن أنّ \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
أ) خاصية: مستقيمان عموديان على نفس المستوي يكونان متوازيين.
\((GH)\perp(HE)\) و\((GH)\perp(HD)\)، و\([HE]\) و\([HD]\) مستقيمان متقاطعان من \((ADHE)\)، إذن \((GH)\perp(ADHE)\). ومن جهة أخرى \((SO)\perp(ADHE)\) (ارتفاع الهرم).
✓ بما أنّ \((GH)\) و\((SO)\) عموديان على نفس المستوي \((ADHE)\) فإنّ \((GH)\,//\,(SO)\).
ب) خاصية: من نقطة معلومة لا يمرّ إلاّ مستقيم وحيد عمودي على مستوٍ.
\((SO)\perp(ADHE)\) و\((OI)\perp(ADHE)\) (من السؤال 2)، والمستقيمان يمرّان بالنقطة \(O\)، فهما مستقيم واحد.
✓ النقاط \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة (على العمودي على \((ADHE)\) في \(O\)).
⚠️ لا يكفي توازي \((SO)\) و\((OI)\)؛ اشتراكهما في النقطة \(O\) هو ما يجعلهما مستقيما واحدا فتستقيم النقاط.
السؤال 4: استنتج أنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
عكس نظرية فيثاغورس. بما أنّ \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة و\(O\) بين \(S\) و\(I\) فإنّ \(SI=SO+OI\).
\(SI=SO+OI=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\)، إذن \(SI^2=\dfrac{81}{4}\).
\(AS^2+AI^2=\dfrac{27}{2}+\dfrac{27}{4}=\dfrac{54}{4}+\dfrac{27}{4}=\dfrac{81}{4}\).
✓ بما أنّ \(AS^2+AI^2=SI^2=\dfrac{81}{4}\) فإنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
⚠️ الوتر هو \([SI]\) (أطول الأضلاع)، والزاوية القائمة تقابله فتكون في \(A\)، لا في \(O\) أو \(I\).
السؤال 5: \(K\) المسقط العمودي للنقطة \(H\) على \((OG)\). أحسب \(OK\).
\(K\) المسقط العمودي لـ \(H\) على \((OG)\)، فـ \([HK]\) هو ارتفاع المثلّث \(OHG\) المتعلّق بالوتر؛ نستعمل العلاقات المترية في المثلّث القائم.
\(OH=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (\(H\) رأس من المربّع \(ADHE\) و\(O\) مركزه)، و\(HG=3\)، و\((HG)\perp(ADHE)\) إذن \((HG)\perp(OH)\): المثلّث \(OHG\) قائم الزاوية في \(H\).
الوتر: \(OG^2=OH^2+HG^2=\dfrac{9}{2}+9=\dfrac{27}{2}\) إذن \(OG=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
العلاقة المترية \(OH^2=OK\times OG\)، إذن \(OK=\dfrac{OH^2}{OG}=\dfrac{9/2}{3\sqrt{6}/2}=\dfrac{9}{3\sqrt{6}}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).
✓ \(OK=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\).
⚠️ العلاقة \(OH^2=OK\times OG\) تربط الضلع \([OH]\) بمسقطه \([OK]\) على الوتر كاملا \([OG]\)، فلا نكتب \(OH^2=OK\times KG\).
السؤال 6: هل الهرم \(EDGH\) الذي رأسه \(H\) هرم منتظم؟
الهرم منتظم إذا كانت قاعدته مضلّعا منتظما وكانت أحرفه الجانبية متقايسة (فيسقط رأسه عموديا على مركز القاعدة).
القاعدة \(EDG\): كلّ من \([ED]\) و\([DG]\) و\([GE]\) قطر لوجه من المكعّب، إذن \(ED=DG=GE=3\sqrt{2}\): المثلّث \(EDG\) متقايس الأضلاع.
الأحرف الجانبية من الرأس \(H\): \([HE]\) و\([HD]\) و\([HG]\) أحرف للمكعّب، إذن \(HE=HD=HG=3\).
✓ القاعدة \(EDG\) مضلّع منتظم والأحرف الجانبية متقايسة، إذن الهرم \(EDGH\) الذي رأسه \(H\) هرم منتظم.
⚠️ الهرم منتظم لكنّه ليس رباعيّ أوجه منتظما، لأنّ \(3\sqrt{2}\neq 3\): القاعدة والأحرف الجانبية مختلفة الطول.