نعتبر هرمًا \(ABCDE\) قاعدته متوازي الأضلاع \(BCDE\) ورأسه \(A\).
لتكن \(I\) منتصف \([AD]\) و\(J\) منتصف \([AC]\).
1. بيّن أنّ المستقيم \((IJ)\) يوازي المستقيم \((EB)\).
2. نعتبر نقطة \(F\) من قطعة المستقيم \([BC]\) مخالفة للنقطة \(B\).
أ) بيّن أنّ المستويين \((ACD)\) و\((AEF)\) يتقاطعان.
ب) بيّن أنّ المستقيم \((IJ)\) يقطع المستوي \((AEF)\).
3. نعتبر النقطة \(K\) مناظرة النقطة \(I\) بالنسبة إلى النقطة \(J\).
أ) بيّن أنّ المستقيمين \((IK)\) و\((BE)\) متوازيان.
ب) بيّن أنّ الرباعي \(IKBE\) متوازي أضلاع.
السؤال 1: بيّن أنّ المستقيم \((IJ)\) يوازي المستقيم \((EB)\).
مبرهنة المنتصفات في المثلّث ثمّ خاصية الأضلاع المتقابلة في متوازي الأضلاع.
في المثلّث \(ACD\): \(I\) منتصف \([AD]\) و\(J\) منتصف \([AC]\)، إذن حسب مبرهنة المنتصفات \((IJ)\parallel(CD)\) و\(IJ=\dfrac{CD}{2}\).
بما أنّ \(BCDE\) متوازي أضلاع فإنّ ضلعيه المتقابلين \([CD]\) و\([EB]\) متوازيان: \((CD)\parallel(EB)\).
✓ ومن تعدّي التوازي: \((IJ)\parallel(EB)\).
⚠️ الانتباه إلى أنّ \((IJ)\) يوازي الضلع \([CD]\) وليس القطر \([CE]\) للقاعدة؛ فالنقطة \(J\) منتصف \([AC]\) وليست منتصف القطر.
السؤال 2: نعتبر نقطة \(F\) من \([BC]\) مخالفة لـ\(B\). أ) بيّن أنّ \((ACD)\) و\((AEF)\) يتقاطعان. ب) بيّن أنّ \((IJ)\) يقطع \((AEF)\).
مستويان لهما نقطة مشتركة وغير منطبقين يتقاطعان وفق مستقيم يمرّ بتلك النقطة.
أ) النقطة \(A\) مشتركة بين المستويين \((ACD)\) و\((AEF)\). ومن جهة أخرى \(E\in(AEF)\) لكن \(E\notin(ACD)\) لأنّ \((ACD)\) يقطع مستوي القاعدة \((BCDE)\) وفق المستقيم \((CD)\) و\(E\notin(CD)\). إذن المستويان غير منطبقين ولهما النقطة \(A\)، فيتقاطعان وفق مستقيم \(\Delta\) يمرّ بـ\(A\).
ب) بما أنّ \(I\in[AD]\) و\(J\in[AC]\) فإنّ \((IJ)\subset(ACD)\). ولأنّ \(F\neq B\) فإنّ \((EF)\) لا يوازي \((CD)\)، فيتقاطع المستقيمان \((EF)\) و\((CD)\) من مستوي القاعدة في نقطة \(G\)؛ إذن \(G\in(AEF)\cap(ACD)\) و\(\Delta=(AG)\).
داخل المستوي \((ACD)\): \((IJ)\parallel(CD)\) بينما \(\Delta=(AG)\) يقطع \((CD)\) في \(G\)، فالمستقيمان \((IJ)\) و\(\Delta\) غير متوازيين ويتقاطعان في نقطة \(M\).
✓ \(M\in\Delta\subset(AEF)\)، إذن المستقيم \((IJ)\) يقطع المستوي \((AEF)\) في النقطة \(M\).
⚠️ الشرط \(F\neq B\) ضروري: لو كان \(F=B\) لصار \((EF)=(EB)\) موازيًا لـ\((CD)\) فلا يتقاطعان بهذه الطريقة.
السؤال 3: \(K\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(J\). أ) بيّن أنّ \((IK)\) و\((BE)\) متوازيان. ب) بيّن أنّ الرباعي \(IKBE\) متوازي أضلاع.
التناظر المركزي بالنسبة إلى \(J\) يجعل \(J\) منتصف \([IK]\)، مع استعمال نتيجة السؤال 1.
أ) \(K\) مناظرة \(I\) بالنسبة إلى \(J\) إذن \(J\) منتصف \([IK]\)، فالنقاط \(I\) و\(J\) و\(K\) في استقامية و\((IK)=(IJ)\). وحسب السؤال 1 \((IJ)\parallel(EB)\)، إذن \((IK)\parallel(BE)\).
ب) من السؤال 1: \(IJ=\dfrac{CD}{2}\)، و\(CD=EB\) (ضلعان متقابلان في متوازي الأضلاع \(BCDE\))، إذن \(IJ=\dfrac{EB}{2}\). وبما أنّ \(J\) منتصف \([IK]\) فإنّ \(IK=2\,IJ=EB\).
✓ الرباعي \(IKBE\) له الضلعان المتقابلان \([IK]\) و\([BE]\) متوازيان ومتقايسان، إذن \(IKBE\) متوازي أضلاع.
⚠️ لا يكفي التوازي وحده \((IK)\parallel(BE)\) لاستنتاج متوازي الأضلاع؛ يجب إضافة التقايس \(IK=BE\). كما أنّ \([IB]\) و\([KE]\) هنا قطران يتناصفان وليسا ضلعين.