نعتبر هرما \(SABC\) قاعدته المثلّث \(ABC\) المتقايس الضلعين رأسه \(A\) حيث \(AB = AC = 5\) و\(BC = 6\).
لتكن \(F\) منتصف \([BC]\) ولتكن \(E\) منتصف \([SA]\).
القطعة \([SF]\) هي ارتفاع الهرم و\(SF = 4\)، أي \((SF) \perp (ABC)\). علما أنّ \(SA \neq BC\).
1. بيّن أنّ \((AF) \perp (BC)\) ثمّ احسب \(AF\).
2. بيّن أنّ المثلّث \(SAF\) قائم الزاوية في \(F\) ثمّ احسب \(SA\).
3. بيّن أنّ \((BC) \perp (SAF)\).
4. استنتج أنّ المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\) ثمّ احسب \(EF\) و\(CE\).
5. احسب حجم الهرم \(SABC\).
السؤال 1: بيّن أنّ \((AF) \perp (BC)\) ثمّ احسب \(AF\).
في المثلّث المتقايس الضلعين، الوسيط الصادر من الرأس الرئيسي هو نفسه الارتفاع؛ فالمثلّث \(ABC\) متقايس الضلعين رأسه \(A\) و\(F\) منتصف القاعدة \([BC]\).
إذن \((AF)\) وسيط وارتفاع في آن، ومنه \((AF) \perp (BC)\)، فالمثلّث \(ABF\) قائم الزاوية في \(F\).
\(BF = \dfrac{BC}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)، وحسب نظرية فيثاغورس: \(AF^2 = AB^2 - BF^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\)، إذن \(AF = 4\).
✓ \((AF) \perp (BC)\) و\(AF = 4\).
⚠️ لا تخلط بين \(AF\) و\(BF\): \(BF = 3\) هو نصف القاعدة بينما \(AF = 4\) هو الارتفاع، و\(AF \neq \dfrac{BC}{2}\).
السؤال 2: بيّن أنّ المثلّث \(SAF\) قائم الزاوية في \(F\) ثمّ احسب \(SA\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فإنه عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي؛ و\((SF) \perp (ABC)\) لأنّ \([SF]\) ارتفاع الهرم.
بما أنّ \((AF) \subset (ABC)\) فإنّ \((SF) \perp (AF)\)، إذن المثلّث \(SAF\) قائم الزاوية في \(F\).
حسب نظرية فيثاغورس: \(SA^2 = SF^2 + AF^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)، إذن \(SA = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).
✓ المثلّث \(SAF\) قائم في \(F\) و\(SA = 4\sqrt{2}\).
⚠️ \(SA\) ليست \(SF + AF = 8\)؛ الوتر يُحسب بنظرية فيثاغورس، و\(4\sqrt{2} \approx 5{,}66\).
السؤال 3: بيّن أنّ \((BC) \perp (SAF)\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
من السؤال 1: \((BC) \perp (AF)\). ومن \((SF) \perp (ABC)\) و\((BC) \subset (ABC)\) ينتج \((BC) \perp (SF)\).
المستقيمان \((AF)\) و\((SF)\) متقاطعان في \(F\) ومحتويان في المستوي \((SAF)\)، و\((BC)\) عمودي عليهما معا.
✓ إذن \((BC) \perp (SAF)\).
⚠️ لا يكفي أن يكون \((BC)\) عموديا على مستقيم واحد من المستوي؛ يجب مستقيمان متقاطعان، وهما هنا \((AF)\) و\((SF)\).
السؤال 4: استنتج أنّ المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\) ثمّ احسب \(EF\) و\(CE\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فإنه عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
النقطة \(E\) على \([SA] \subset (SAF)\) والنقطة \(F\) في \((SAF)\)، إذن \((EF) \subset (SAF)\). وبما أنّ \((BC) \perp (SAF)\) و\((FC) \subset (BC)\) فإنّ \((FC) \perp (EF)\)، أي المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\).
في المثلّث \(SAF\) القائم في \(F\)، \(E\) منتصف الوتر \([SA]\)، فالوسيط \(FE\) يساوي نصف الوتر: \(EF = \dfrac{SA}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).
\(FC = \dfrac{BC}{2} = 3\)، وحسب فيثاغورس في \(CEF\): \(CE^2 = FC^2 + EF^2 = 3^2 + (2\sqrt{2})^2 = 9 + 8 = 17\)، إذن \(CE = \sqrt{17}\).
✓ المثلّث \(CEF\) قائم في \(F\)، \(EF = 2\sqrt{2}\) و\(CE = \sqrt{17}\).
⚠️ \((2\sqrt{2})^2 = 2^2 \times 2 = 8\) وليس \(4\)؛ ولا تنسَ أنّ \(EF\) وسيط الوتر يساوي نصف \(SA\) وليس نصف \(AF\).
السؤال 5: احسب حجم الهرم \(SABC\).
حجم الهرم يساوي ثلث جداء مساحة القاعدة في الارتفاع: \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{القاعدة}} \times h\).
مساحة القاعدة \(ABC\): \(\mathcal{A} = \dfrac{1}{2} \times BC \times AF = \dfrac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\).
الارتفاع هو \(SF = 4\)، إذن \(V = \dfrac{1}{3} \times 12 \times 4 = \dfrac{48}{3} = 16\).
✓ حجم الهرم \(SABC\) يساوي \(16\) وحدة مكعّبة.
⚠️ ارتفاع الهرم هو \(SF = 4\) وليس الحرف الجانبي \(SA = 4\sqrt{2}\)؛ ومساحة القاعدة نصف جداء \(BC \times AF\).