نعتبر متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\) قاعدته \(ABCD\) مربّع مركزه \(I\)، و\(J\) منتصف \([CE]\)، حيث \(AB = 4\sqrt{2}\) و\(AE = 8\).
1. أ) احسب \(EC\) و\(IJ\).
ب) بيّن أنّ \((AI)\) عمودي على \((AE)\).
2. لتكن \(M\) منتصف \([DH]\). بيّن أنّ \(IDMJ\) مستطيل.
3. ليكن \(K\) المسقط العمودي لـ \(I\) على \((AD)\).
أ) بيّن أنّ \((IJ) \perp (ABD)\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(IJK\) قائم الزاوية في \(I\).
السؤال 1: أ) احسب \(EC\) و\(IJ\). ب) بيّن أنّ \((AI)\) عمودي على \((AE)\).
الحرف الجانبي \([AE]\) عمودي على القاعدة \((ABCD)\)، وفي المربّع القطران متساويان ويتقاطعان في منتصفهما \(I\). نستعمل نظرية فيثاغورس ومبرهنة المنتصفات.
\(ABCD\) مربّع ضلعه \(4\sqrt{2}\)، إذن قطره \(AC = 4\sqrt{2}\times\sqrt{2} = 8\). وبما أنّ \((AE)\perp(ABCD)\) فالمثلّث \(AEC\) قائم الزاوية في \(A\): \(EC^2 = AE^2 + AC^2 = 8^2 + 8^2 = 128\)، إذن \(EC = \sqrt{128} = 8\sqrt{2}\).
في المثلّث \(ACE\): \(I\) منتصف \([AC]\) و\(J\) منتصف \([CE]\)، فحسب مبرهنة المنتصفات \((IJ)\parallel(AE)\) و\(IJ = \dfrac{AE}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\).
\(I\) مركز المربّع فـ \([AI]\subset(ABCD)\)؛ وبما أنّ \((AE)\perp(ABCD)\) فإنّ \((AE)\) عمودي على كلّ مستقيم من \((ABCD)\)، ومنه \((AE)\perp(AI)\).
✓ \(EC = 8\sqrt{2}\)، \(IJ = 4\)، و\((AI)\perp(AE)\).
⚠️ لا تحسب \(EC\) بجمع \(AE\) و\(AC\)؛ وتذكّر أنّ \(AI\) نصف القطر أي \(AI = \dfrac{AC}{2} = 4\) وليس ضلع المربّع.
السؤال 2: لتكن \(M\) منتصف \([DH]\). بيّن أنّ \(IDMJ\) مستطيل.
لإثبات أنّ \(IDMJ\) مستطيل نبيّن أنّه متوازي أضلاع له زاوية قائمة. الحروف الجانبية متوازية والحرف الجانبي عمودي على القاعدة.
من السؤال 1: \((IJ)\parallel(AE)\) و\(IJ = 4\). والحرف الجانبي \((DH)\parallel(AE)\)، إذن \((IJ)\parallel(DM)\).
\(M\) منتصف \([DH]\) و\(DH = AE = 8\)، إذن \(DM = \dfrac{DH}{2} = 4 = IJ\). وبما أنّ \((IJ)\parallel(DM)\) و\(IJ = DM\) فالرباعي \(IDMJ\) متوازي أضلاع.
\((IJ)\parallel(AE)\) و\((AE)\perp(ABCD)\) إذن \((IJ)\perp(ABCD)\)، ومنه \((IJ)\perp(ID)\): زاوية قائمة في \(I\).
✓ متوازي الأضلاع \(IDMJ\) له زاوية قائمة، إذن هو مستطيل.
⚠️ لا يكفي أن يكون \(IJ = DM\) لإثبات المستطيل؛ يجب أوّلا إثبات التوازي (متوازي أضلاع) ثمّ وجود زاوية قائمة.
السؤال 3: ليكن \(K\) المسقط العمودي لـ \(I\) على \((AD)\). أ) بيّن أنّ \((IJ)\perp(ABD)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(IJK\) قائم الزاوية في \(I\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي؛ وإذا وازى مستقيمٌ آخرَ عموديا على مستوٍ صار هو أيضا عموديا عليه.
من السؤال 1: \((IJ)\parallel(AE)\)، والحرف الجانبي \((AE)\perp(ABCD)\). والمستوي \((ABD)\) هو نفسه مستوي القاعدة \((ABCD)\)، إذن \((IJ)\perp(ABD)\).
\(K\) مسقط \(I\) على \((AD)\) والنقطتان \(I\) و\(K\) في مستوي القاعدة، إذن \((IK)\subset(ABD)\). وبما أنّ \((IJ)\perp(ABD)\) فإنّها عمودية على كلّ مستقيم من \((ABD)\) يمرّ بـ \(I\)، ومنه \((IJ)\perp(IK)\).
✓ \((IJ)\perp(ABD)\)، والمثلّث \(IJK\) قائم الزاوية في \(I\).
⚠️ الزاوية القائمة في \(I\) وليست في \(K\): العمودية على المستوي تُعطي \((IJ)\perp(IK)\) عند النقطة \(I\).