نعتبر هرمًا ثلاثيًا \(SABC\) قاعدته المثلّث \(ABC\) القائم الزاوية في \(B\) والمتقايس الضلعين، حيث \([SA]\) ارتفاعه و\(SA=AB=3\sqrt{2}\). لتكن \(M\) و\(N\) منتصفَي الحرفين \([SC]\) و\([SA]\) على التوالي.
1. احسب الأبعاد: \(AC\) و\(SB\) و\(SC\).
2. أ) بيّن أنّ المثلّث \(SBC\) قائم الزاوية في \(B\). ب) بيّن أنّ المثلّث \(MAB\) متقايس الضلعين.
3. أ) بيّن أنّ \((BC)\perp(SAB)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(NBC\) قائم الزاوية.
السؤال 1: احسب الأبعاد: \(AC\) و\(SB\) و\(SC\).
المثلّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(B\) ومتقايس الضلعين، إذن \(BA=BC=3\sqrt{2}\)؛ ونستعمل نظرية فيثاغورس مع كون \([SA]\) عموديًا على مستوي القاعدة.
حساب \(AC\): في المثلّث \(ABC\) القائم في \(B\): \(AC^2=BA^2+BC^2=(3\sqrt{2})^2+(3\sqrt{2})^2=18+18=36\)، إذن \(AC=6\).
حساب \(SB\): بما أنّ \((SA)\perp(ABC)\) فإنّ \((SA)\perp(AB)\) والمثلّث \(SAB\) قائم في \(A\): \(SB^2=SA^2+AB^2=18+18=36\)، إذن \(SB=6\).
حساب \(SC\): كذلك \((SA)\perp(AC)\) والمثلّث \(SAC\) قائم في \(A\): \(SC^2=SA^2+AC^2=18+36=54\)، إذن \(SC=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\).
✓ \(AC=6\) و\(SB=6\) و\(SC=3\sqrt{6}\).
⚠️ لاحظ أنّ \((3\sqrt{2})^2=9\times 2=18\) وليس \(6\)؛ يجب تربيع المعامل \(3\) والجذر \(\sqrt{2}\) معًا.
السؤال 2: أ) بيّن أنّ المثلّث \(SBC\) قائم الزاوية في \(B\). ب) بيّن أنّ المثلّث \(MAB\) متقايس الضلعين.
نستعمل عكس نظرية فيثاغورس في (أ)، وخاصيّة «طول المتوسّط المتعلّق بالوتر في مثلّث قائم الزاوية يساوي نصف الوتر» في (ب).
(أ) لدينا \(SB=6\) و\(BC=3\sqrt{2}\) و\(SC=3\sqrt{6}\). نحسب: \(SB^2+BC^2=36+18=54\) و\(SC^2=(3\sqrt{6})^2=54\). إذن \(SB^2+BC^2=SC^2\) ومنه المثلّث \(SBC\) قائم الزاوية في \(B\).
(ب) \(M\) منتصف الوتر \([SC]\). في المثلّث \(SBC\) القائم في \(B\): \(MB=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\). وفي المثلّث \(SAC\) القائم في \(A\) (لأنّ \((SA)\perp(AC)\)) والوتر هو \([SC]\): \(MA=\dfrac{SC}{2}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
✓ \(MA=MB=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\)، إذن المثلّث \(MAB\) متقايس الضلعين.
⚠️ خاصيّة نصف الوتر تنطبق فقط على المتوسّط المتعلّق بالوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة)، لا على أيّ متوسّط آخر في المثلّث.
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((BC)\perp(SAB)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(NBC\) قائم الزاوية.
إذا كان مستقيم عموديًا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي (أ)؛ وإذا كان مستقيم عموديًا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي (ب).
(أ) \((BC)\perp(BA)\) لأنّ المثلّث \(ABC\) قائم في \(B\)، و\((BC)\perp(SA)\) لأنّ \((SA)\perp(ABC)\) و\((BC)\subset(ABC)\). والمستقيمان \((BA)\) و\((SA)\) متقاطعان في \(A\) ومحتويان في المستوي \((SAB)\).
✓ إذن \((BC)\perp(SAB)\).
(ب) \(N\) منتصف \([SA]\) إذن \(N\in(SAB)\)، ومنه \((NB)\subset(SAB)\). وبما أنّ \((BC)\perp(SAB)\) فإنّ \((BC)\perp(NB)\).
✓ إذن المثلّث \(NBC\) قائم الزاوية في \(B\).
⚠️ لإثبات تعامد مستقيم مع مستوٍ لا يكفي تعامده مع مستقيم واحد منه؛ يجب تعامده مع مستقيمين متقاطعين من المستوي.