نعتبر هرماً منتظماً رأسه \(S\) وقاعدته المربّع \(ABCD\) الذي مركزه \(O\). نسمّي \(R\) شعاع الدائرة المحيطة بالقاعدة (أي \(OA=R\))، ونسمّي \(h\) ارتفاع الهرم \(SO=h\).
نفترض أنّ ارتفاع الهرم يساوي ِضعف شعاع الدائرة المحيطة بقاعدته، أي \(h=2R\).
1. بيّن أنّ طول الحرف الجانبي يحقّق \(SA^2 = h^2 + R^2\).
2. استنتج طول الحرف الجانبي \(SA\) بدلالة \(h\).
السؤال 1: بيّن أنّ طول الحرف الجانبي يحقّق \(SA^2 = h^2 + R^2\).
في الهرم المنتظم يكون الارتفاع \([SO]\) عمودياً على مستوي القاعدة \((ABCD)\). وبما أنّ المستقيم العمودي على مستوٍ يكون عمودياً على كلّ مستقيم من هذا المستوي، و\((OA) \subset (ABCD)\)، فإنّ \((SO) \perp (OA)\)، إذن المثلّث \(SOA\) قائم الزاوية في \(O\).
نطبّق نظرية فيثاغورس في المثلّث \(SOA\) القائم في \(O\): \(SA^2 = SO^2 + OA^2\).
وبما أنّ \(SO=h\) و\(OA=R\) نحصل على \(SA^2 = h^2 + R^2\).
✓ \(SA^2 = h^2 + R^2\).
⚠️ \(R\) هو شعاع الدائرة المحيطة (المسافة من المركز \(O\) إلى الرأس \(A\)) وليس طول ضلع المربّع؛ كما أنّ \(SA \neq SO + OA\).
السؤال 2: استنتج طول الحرف الجانبي \(SA\) بدلالة \(h\).
نستعمل نتيجة السؤال الأوّل \(SA^2 = h^2 + R^2\) مع المعطى \(h = 2R\) أي \(R = \dfrac{h}{2}\).
\(SA^2 = h^2 + R^2 = h^2 + \left(\dfrac{h}{2}\right)^2 = h^2 + \dfrac{h^2}{4} = \dfrac{5h^2}{4}\).
ومنه \(SA = \sqrt{\dfrac{5h^2}{4}} = \dfrac{h\sqrt{5}}{2}\) (لأنّ \(h>0\)).
✓ طول الحرف الجانبي هو \(SA = \dfrac{h\sqrt{5}}{2}\).
⚠️ \(\sqrt{\dfrac{5h^2}{4}} = \dfrac{h\sqrt{5}}{2}\) وليس \(\dfrac{5h}{2}\): الجذر يبقى على العدد \(5\) وحده، أمّا \(h^2\) و\(4\) فيخرجان من الجذر.