يمثّل الرسم المنظور التالي هرما منتظما \(SABCD\) قاعدته المربّع \(ABCD\) ومركزه \(O\)، والنقطة \(M \in [SD]\)، وذلك بحيث:
\(SC = 5\,cm\) و\(AB = 3\sqrt{2}\,cm\) و\(OM = 3\,cm\).
1) أحسب البعد \(AC\) ثمّ استنتج \(OS\).
2) أ) بيّن أنّ \((AC) \perp (SBD)\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\) ثمّ أحسب \(CM\).
3) أ) بيّن أنّ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\).
ب) استنتج أنّ \(AM = MC\).
4) أحسب حجم الهرم \(V_{SABCD}\).
السؤال 1: أحسب البعد \(AC\) ثمّ استنتج \(OS\).
\(ABCD\) مربّع طول ضلعه \(AB\)، وقطره \(AC\) يُحسب بنظرية فيثاغورس في المثلّث \(ABC\) القائم في \(B\): \(AC = AB\sqrt{2}\).
\(AC = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times 2 = 6\,cm\).
بما أنّ \(O\) مركز المربّع فهو منتصف القطر \([AC]\)، إذن \(OC = \dfrac{AC}{2} = 3\,cm\).
الهرم منتظم فارتفاعه \([SO]\) عمودي على القاعدة، فالمثلّث \(SOC\) قائم الزاوية في \(O\)؛ بنظرية فيثاغورس: \(OS^2 = SC^2 - OC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\)، إذن \(OS = 4\,cm\).
✓ \(AC = 6\,cm\) و\(OS = 4\,cm\).
⚠️ عند حساب \(AC = AB\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\times\sqrt{2}\) لا تُبقِ الجذر: \(\sqrt{2}\times\sqrt{2} = 2\) فيصير \(AC = 6\) وليس \(3\sqrt{2}\).
السؤال 2: أ) بيّن أنّ \((AC) \perp (SBD)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\) ثمّ أحسب \(CM\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
أ) في المربّع \(ABCD\) القطران متعامدان إذن \((AC) \perp (BD)\)، ومن جهة أخرى \([SO]\) ارتفاع الهرم المنتظم فهو عمودي على القاعدة، ومنه \((AC) \perp (SO)\).
المستقيمان \((BD)\) و\((SO)\) متقاطعان في \(O\) ومحتويان في المستوي \((SBD)\)، وبما أنّ \((AC)\) عمودي على كليهما فإنّ \((AC) \perp (SBD)\).
ب) النقطتان \(O\) و\(M\) من المستوي \((SBD)\) (لأنّ \(M \in [SD]\)) إذن \((OM) \subset (SBD)\)، ومنه \((AC) \perp (OM)\) أي \((OC) \perp (OM)\)، فالمثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\).
بنظرية فيثاغورس: \(CM^2 = OC^2 + OM^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\)، إذن \(CM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\,cm\).
✓ \((AC) \perp (SBD)\) والمثلّث \(OMC\) قائم في \(O\) و\(CM = 3\sqrt{2}\,cm\).
⚠️ لا يكفي أن يكون \((AC)\) عموديا على \((BD)\) وحده لاستنتاج عموديته على المستوي؛ يلزم عمودية على مستقيمين متقاطعين، لذلك أضفنا \((SO)\).
السؤال 3: أ) بيّن أنّ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\). ب) استنتج أنّ \(AM = MC\).
نظرية فيثاغورس وعكسها، مع كون \(O\) منتصف \([AC]\) و\((OM) \perp (OA)\).
أ) بما أنّ \((AC) \perp (SBD)\) و\((OM) \subset (SBD)\) فإنّ \((OM) \perp (OA)\)، فالمثلّث \(AOM\) قائم الزاوية في \(O\)؛ إذن \(AM^2 = OA^2 + OM^2 = 3^2 + 3^2 = 18\)، ومنه \(AM = 3\sqrt{2}\,cm\).
لدينا من السؤال 2: \(CM = 3\sqrt{2}\,cm\)، فنحسب: \(AM^2 + MC^2 = 18 + 18 = 36 = 6^2 = AC^2\).
حسب عكس نظرية فيثاغورس، بما أنّ \(AC^2 = AM^2 + MC^2\) فإنّ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\).
ب) وجدنا \(AM = 3\sqrt{2}\,cm\) و\(MC = 3\sqrt{2}\,cm\).
✓ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\) و\(AM = MC = 3\sqrt{2}\,cm\).
⚠️ الوتر في المثلّث \(AMC\) هو \([AC]\) لأنّه أطول الأضلاع (\(6 > 3\sqrt{2}\))، فالزاوية القائمة هي في \(M\) المقابلة له وليست في \(A\) أو \(C\).
السؤال 4: أحسب حجم الهرم \(V_{SABCD}\).
حجم الهرم يساوي ثلث جداء مساحة القاعدة في الارتفاع: \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{القاعدة}} \times SO\).
مساحة القاعدة المربّعة \(ABCD\): \(\mathcal{A} = AB^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\,cm^2\).
الارتفاع \(SO = 4\,cm\) (من السؤال 1)، إذن: \(V = \dfrac{1}{3} \times 18 \times 4 = \dfrac{72}{3} = 24\,cm^3\).
✓ \(V_{SABCD} = 24\,cm^3\).
⚠️ لا تستعمل الحرف الجانبي \(SC = 5\) كارتفاع؛ الارتفاع هو المسافة \(SO\) العمودية على القاعدة وقيمتها \(4\,cm\).