يمثّل الرسم المنظور المرفق مجسّما مكوّنا من مكعّب \(ABCDEFGH\) قيس طول حرفه \(3\) صم، وهرم رباعي منتظم قاعدته المربّع \(ADHE\) (أحد أوجه المكعّب) رأسه \(S\) وارتفاعه \(SO=3\) صم، حيث \(O\) مركز المربّع \(ADHE\).
1) أحسب البعد \(AO\) واستنتج أنّ \(SA=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
2) لتكن \(I\) منتصف قطر المكعّب \([AG]\).
أ) أحسب البعد \(AI\).
ب) أحسب البعد \(OI\).
3) أ) بيّن أنّ \((GH)//(SO)\).
ب) بيّن أنّ النقاط \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
4) استنتج أنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
السؤال 1: أحسب البعد \(AO\) واستنتج أنّ \(SA=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
\(O\) مركز المربّع \(ADHE\) أي منتصف قطره \([AH]\)؛ ثمّ: إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي، ونطبّق نظرية فيثاغورس.
في المربّع \(ADHE\) الذي طول ضلعه \(3\): \(AH^2=AD^2+DH^2=3^2+3^2=18\)، إذن \(AH=3\sqrt{2}\) ومنه \(AO=\dfrac{AH}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
الارتفاع \([SO]\) عمودي على مستوي القاعدة \((ADHE)\) و\([OA]\subset(ADHE)\)، إذن \((SO)\perp(OA)\) والمثلّث \(SOA\) قائم الزاوية في \(O\).
\(SA^2=SO^2+OA^2=3^2+\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2=9+\dfrac{18}{4}=9+\dfrac{9}{2}=\dfrac{27}{2}\)، إذن \(SA=\sqrt{\dfrac{27}{2}}=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
✓ \(AO=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) و\(SA=\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
⚠️ \(\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2=\dfrac{9\times 2}{4}=\dfrac{9}{2}\) وليس \(3\)؛ يجب تربيع المعامل والجذر والمقام معا.
السؤال 2: لتكن \(I\) منتصف قطر المكعّب \([AG]\). أ) أحسب \(AI\). ب) أحسب \(OI\).
أ) طول قطر مكعّب حرفه \(a\) يساوي \(a\sqrt{3}\) (تطبيق فيثاغورس مرّتين). ب) مبرهنة المنتصفات في المثلّث.
أ) \(AC\) قطر القاعدة \(ABCD\): \(AC=3\sqrt{2}\)، و\((CG)\perp(ABCD)\) إذن \(AG^2=AC^2+CG^2=(3\sqrt{2})^2+3^2=18+9=27\)، ومنه \(AG=3\sqrt{3}\). وبما أنّ \(I\) منتصف \([AG]\) فإنّ \(AI=\dfrac{AG}{2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\).
ب) \(O\) منتصف \([AH]\) و\(I\) منتصف \([AG]\)؛ في المثلّث \(AGH\) تصل \([OI]\) بين منتصفَي ضلعين، إذن \((OI)//(GH)\) و\(OI=\dfrac{GH}{2}=\dfrac{3}{2}\).
✓ \(AI=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) و\(OI=\dfrac{3}{2}\).
⚠️ \(OI\) ليس نصف القطر \([AG]\)؛ هنا نستعمل مبرهنة المنتصفات مع الضلع \([GH]\) الذي طوله \(3\).
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((GH)//(SO)\). ب) بيّن أنّ \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
أ) إذا كان مستقيمان عموديين على نفس المستوي فإنهما متوازيان. ب) من نقطة معلومة لا يمرّ إلا مستقيم واحد يوازي مستقيما معلوما.
أ) الارتفاع \((SO)\) عمودي على القاعدة \((ADHE)\)؛ والحرف \([GH]\) حرف من المكعّب عمودي على الوجه \((ADHE)\)، إذن \((GH)\perp(ADHE)\). فالمستقيمان \((SO)\) و\((GH)\) عموديان على نفس المستوي \((ADHE)\)، ومنه \((GH)//(SO)\).
ب) من السؤال 2: \((OI)//(GH)\)، ومن (أ): \((SO)//(GH)\). فالمستقيمان \((OI)\) و\((SO)\) يمرّان بالنقطة \(O\) ويوازيان \((GH)\)، إذن هما نفس المستقيم، ومنه \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
✓ \((GH)//(SO)\) والنقاط \(S,\,O,\,I\) على استقامة واحدة.
⚠️ التوازي مع نفس المستقيم لا يكفي وحده للاستقامة؛ الشرط الحاسم هو أنّ \((OI)\) و\((SO)\) يشتركان في النقطة \(O\).
السؤال 4: استنتج أنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
عكس نظرية فيثاغورس: إذا كان مربّع أطول ضلع يساوي مجموع مربّعَي الضلعين الآخرين فالمثلّث قائم الزاوية.
بما أنّ \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة و\(O\) بين \(S\) و\(I\): \(SI=SO+OI=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}\).
\(AS^2+AI^2=\left(\dfrac{3\sqrt{6}}{2}\right)^2+\left(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\right)^2=\dfrac{54}{4}+\dfrac{27}{4}=\dfrac{81}{4}=\left(\dfrac{9}{2}\right)^2=SI^2\).
✓ بما أنّ \(SI^2=AS^2+AI^2\) فإنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
⚠️ تأكّد أنّ \(SI=\dfrac{9}{2}\) هو أطول الأضلاع (الوتر) قبل تطبيق عكس فيثاغورس، وأنّ \(O\) واقعة فعلا بين \(S\) و\(I\).