نعتبر موشورا قائما \(ABCDEFGH\) قاعدتاه المربّعان \(ABCD\) و\(EFGH\)، حيث تقابل الرؤوس \(E\) و\(F\) و\(G\) و\(H\) على التوالي الرؤوس \(A\) و\(B\) و\(C\) و\(D\).
المعطيات: \(AB=4\) و\(AG=2\sqrt{17}\)، حيث \(AG\) أحد أقطار الموشور.
المطلوب تعيين طول الحرف الجانبي \(AE\) من بين القيم المقترحة: \(AE=4\) أو \(AE=5\) أو \(AE=6\)، وذلك عبر المراحل التالية.
السؤال 1: احسب طول القطر \(AC\) لقاعدة الموشور المربّعة \(ABCD\).
القاعدة \(ABCD\) مربّع، فالمثلّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(B\)؛ نطبّق نظرية فيثاغورس مع \(BC=AB=4\).
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)، إذن \(AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).
✓ \(AC = 4\sqrt{2}\).
⚠️ قطر المربّع لا يساوي ضِعف الضلع: \(AC \neq 2\times 4 = 8\)، بل \(AC = 4\sqrt{2} \approx 5{,}66\).
السؤال 2: بيّن أنّ المثلّث \(ACG\) قائم الزاوية في \(C\).
في الموشور القائم كلّ حرف جانبي عمودي على القاعدة؛ وإذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
الحرف \([CG]\) عمودي على القاعدة \((ABCD)\)، والقطر \((AC) \subset (ABCD)\)، إذن \((CG) \perp (AC)\).
✓ المثلّث \(ACG\) قائم الزاوية في \(C\).
⚠️ \(AG\) ليس قطرا للقاعدة بل قطرا للموشور؛ الزاوية القائمة تقع في \(C\) حيث يلتقي القطر \([AC]\) بالحرف الجانبي \([CG]\)، وليست في \(A\).
السؤال 3: استنتج طول الحرف \(AE\) ثمّ اختر الإجابة الصحيحة.
نظرية فيثاغورس في المثلّث \(ACG\) القائم في \(C\)، مع \(CG = AE\) لأنّ الأحرف الجانبية في الموشور القائم متقايسة.
\(AG = 2\sqrt{17}\) إذن \(AG^2 = 2^2 \times 17 = 4 \times 17 = 68\).
\(CG^2 = AG^2 - AC^2 = 68 - 32 = 36\)، إذن \(CG = 6\).
وبما أنّ \(AE = CG\) فإنّ \(AE = 6\).
✓ \(AE = 6\)، وهي الإجابة الصحيحة من بين القيم المقترحة.
⚠️ \((2\sqrt{17})^2 = 2^2 \times 17 = 68\) وليس \(34\)؛ يجب تربيع المعامل \(2\) والجذر معا.