وحدة الطول هي الصنتمتر.
نعتبر \(ABCD\) هرمًا بحيث المثلّثات \(ABC\) و\(ABD\) و\(BCD\) كلّها قائمة الزاوية في \(B\).
لتكن \(I\) منتصف \([BD]\)، والمستقيم المارّ من \(I\) والموازي للمستقيم \((AB)\) يقطع \((AD)\) في \(J\).
المعطيات: \(AB=8\) و\(BD=BC=6\).
1. بيّن أنّ \((IJ)\) يوازي المستوي \((ABC)\).
2. أ) بيّن أنّ \(J\) منتصف \([AD]\). ب) احسب \(AD\) و\(BJ\) معلّلًا جوابك.
3. أ) بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوي \((IJD)\). ب) احسب \(JC\) معلّلًا جوابك.
4. هل أنّ \(J\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\)؟ علّل جوابك.
السؤال 1: بيّن أنّ \((IJ)\) يوازي المستوي \((ABC)\).
إذا كان مستقيم يوازي مستقيمًا من مستوٍ ولا ينتمي إليه فإنّه يوازي هذا المستوي.
بحسب الإنشاء المستقيم \((IJ)\) يوازي \((AB)\)، والمستقيم \((AB)\) محتوى في المستوي \((ABC)\).
والمستقيم \((IJ)\) غير محتوى في \((ABC)\) لأنّ \(I\in[BD]\) و\(J\in[AD]\) لا ينتميان إلى \((ABC)\).
✓ إذن \((IJ)\) يوازي المستوي \((ABC)\).
⚠️ لا يكفي التوازي مع \((AB)\)؛ يجب أيضًا التثبّت من أنّ \((IJ)\) غير محتوى في \((ABC)\) وإلاّ فقد يكون داخل المستوي لا موازيًا له.
السؤال 2: أ) بيّن أنّ \(J\) منتصف \([AD]\). ب) احسب \(AD\) و\(BJ\) معلّلًا جوابك.
مبرهنة المنتصفات العكسية: المستقيم المارّ بمنتصف ضلع والموازي لضلع ثانٍ من المثلّث يقطع الضلع الثالث في منتصفه. ثمّ نظرية فيثاغورس.
في المثلّث \(ABD\): \(I\) منتصف \([BD]\) و\((IJ)\) يوازي \((AB)\)، إذن \(J\) منتصف \([AD]\).
المثلّث \(ABD\) قائم الزاوية في \(B\)، فحسب نظرية فيثاغورس: \(AD^2=AB^2+BD^2=8^2+6^2=64+36=100\)، إذن \(AD=10\).
النقطة \(J\) منتصف الوتر \([AD]\) في مثلّث قائم، وطول المتوسط المتعلّق بالوتر يساوي نصف الوتر: \(BJ=\dfrac{AD}{2}=\dfrac{10}{2}=5\).
✓ \(J\) منتصف \([AD]\)، و\(AD=10\) و\(BJ=5\).
⚠️ \(BJ\) ليس نصف \(AB\)؛ إنّه المتوسط المتعلّق بالوتر في مثلّث قائم فيساوي نصف الوتر \([AD]\) لا نصف ضلع قائم.
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوي \((IJD)\). ب) احسب \(JC\) معلّلًا جوابك.
إذا كان مستقيم عموديًا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فإنّه عمودي على هذا المستوي.
المستوي \((IJD)\) هو نفسه المستوي \((ABD)\) لأنّ \(I\in[BD]\) و\(J\in[AD]\) و\(D\) نقاطٌ كلّها في المستوي \((ABD)\).
المثلّث \(ABC\) قائم في \(B\) إذن \((BC)\perp(BA)\)، والمثلّث \(BCD\) قائم في \(B\) إذن \((BC)\perp(BD)\)؛ والمستقيمان \((BA)\) و\((BD)\) متقاطعان في \(B\) ومحتويان في \((ABD)\).
إذن \((BC)\perp(ABD)=(IJD)\). وبما أنّ \((BJ)\subset(IJD)\) فإنّ \((BC)\perp(BJ)\)، فالمثلّث \(BJC\) قائم في \(B\): \(JC^2=BJ^2+BC^2=5^2+6^2=25+36=61\).
✓ \((BC)\perp(IJD)\) و\(JC=\sqrt{61}\).
⚠️ لا يكفي أنّ \((BC)\) عمودي على مستقيم واحد من المستوي؛ يجب أن يكون عموديًا على مستقيمين متقاطعين \((BA)\) و\((BD)\).
السؤال 4: هل أنّ \(J\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\)؟ علّل جوابك.
\(J\) هو المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\) إذا وفقط إذا كان \((CJ)\perp(AD)\). نستعمل خاصية العمودية على مستوٍ ثمّ مقارنة المتوسط بالارتفاع.
عندنا \((BC)\perp(IJD)=(ABD)\) و\((AD)\subset(ABD)\)، إذن \((BC)\perp(AD)\).
لو كان \(J\) المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\) لكان \((CJ)\perp(AD)\)؛ عندئذٍ يصبح \((AD)\) عموديًا على المستقيمين المتقاطعين \((CJ)\) و\((BC)\) من المستوي \((BCJ)\)، فيكون \((AD)\perp(BJ)\).
لكنّ \((BJ)\) هو المتوسط المتعلّق بالوتر في المثلّث \(ABD\) وليس الارتفاع، لأنّ المثلّث غير متساوي الساقين إذ \(AB=8\neq BD=6\)، فلا يمكن أن يكون \((BJ)\perp(AD)\): تناقض.
✓ لا، \(J\) ليس المسقط العمودي لـ \(C\) على \((AD)\).
⚠️ المتوسط والارتفاع الصادران من نفس الرأس لا يتطابقان إلاّ في المثلّث المتساوي الساقين؛ وهنا \(AB\neq BD\) فلا تطابق.