نعتبر متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\) حيث \(AB=8\) و\(BC=6\) و\(AE=10\).
1. احسب \(EG\).
2. لتكن النقطة \(I\) من \([EF]\) بحيث \(IF=2\). المستقيم المارّ من \(I\) والموازي لـ \((FH)\) يقطع \((EG)\) في النقطة \(K\).
أ) احسب \(IK\).
ب) بيّن أنّ \((IK)\) يوازي المستوي \((ABC)\).
3. بيّن أنّ المستقيم \((IF)\) عمودي على المستوي \((BCG)\).
4. استنتج طبيعة المثلّث \(ICF\).
5. احسب البعد \(IC\).
السؤال 1: احسب \(EG\).
الوجه \(EFGH\) مستطيل، فالمثلّث \(EFG\) قائم الزاوية في \(F\) (الحرفان \([EF]\) و\([FG]\) متعامدان)؛ نطبّق نظرية فيثاغورس.
\(EF=AB=8\) و\(FG=BC=6\)، إذن \(EG^2 = EF^2 + FG^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100\).
✓ \(EG = \sqrt{100} = 10\).
⚠️ القطر ليس مجموع الضلعين: \(EG \neq EF + FG = 14\)، بل يُحسب بنظرية فيثاغورس.
السؤال 2: (أ) احسب \(IK\). (ب) بيّن أنّ \((IK)\) يوازي المستوي \((ABC)\).
(أ) مبرهنة طالس. قطرا المستطيل \(EFGH\) هما \([EG]\) و\([FH]\) ويتقاطعان في منتصفهما المشترك \(L\)، فيكون \(FL = \dfrac{FH}{2}\) و\(FH = EG = 10\) (قطرا المستطيل متقايسان).
في المثلّث \(EFL\): النقطة \(I \in [EF]\) والنقطة \(K \in [EL]\) و\((IK) \parallel (FL)\)، وحسب مبرهنة طالس: \(\dfrac{IK}{FL} = \dfrac{EI}{EF}\).
لدينا \(EI = EF - IF = 8 - 2 = 6\) و\(FL = \dfrac{10}{2} = 5\)، إذن \(IK = \dfrac{EI}{EF}\times FL = \dfrac{6}{8}\times 5 = \dfrac{15}{4} = 3{,}75\).
(ب) المستقيم \((IK)\) محتوى في الوجه \((EFGH)\)، والوجهان المتقابلان \((EFGH)\) و\((ABCD)\) متوازيان في متوازي المستطيلات.
✓ \(IK = \dfrac{15}{4} = 3{,}75\)، وبما أنّ \((IK) \subset (EFGH)\) و\((EFGH) \parallel (ABC)\) فإنّ \((IK)\) يوازي المستوي \((ABC)\).
⚠️ النسبة هي \(\dfrac{EI}{EF} = \dfrac{6}{8}\) وليست \(\dfrac{IF}{EF} = \dfrac{2}{8}\)؛ الرأس المشترك للمثلّث هو \(E\) فتُؤخذ الأطوال انطلاقا منه.
السؤال 3: بيّن أنّ المستقيم \((IF)\) عمودي على المستوي \((BCG)\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي. النقطتان \(I\) و\(F\) على الحرف \([EF]\)، فالمستقيم \((IF)\) هو نفسه المستقيم \((EF)\).
الوجه \((BCG)\) هو الوجه \((BCGF)\) الذي يحوي \(B\) و\(C\) و\(G\) و\(F\). المستقيمان \((FB)\) و\((FG)\) محتويان فيه ويتقاطعان في \(F\).
في متوازي المستطيلات: \((EF) \perp (FB)\) (حرفان متجاوران للوجه \(ABFE\)) و\((EF) \perp (FG)\) (حرفان متجاوران للوجه \(EFGH\)).
✓ بما أنّ \((IF)=(EF)\) عمودي على المستقيمين المتقاطعين \((FB)\) و\((FG)\) من المستوي \((BCG)\)، فإنّ \((IF) \perp (BCG)\).
⚠️ لا يكفي التعامد مع مستقيم واحد من المستوي؛ يجب التعامد مع مستقيمين متقاطعين منه (\((FB)\) و\((FG)\)).
السؤال 4: استنتج طبيعة المثلّث \(ICF\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فإنه عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
من السؤال 3: \((IF) \perp (BCG)\). والنقطتان \(C\) و\(F\) تنتميان إلى المستوي \((BCG)\)، إذن \((CF) \subset (BCG)\).
إذن \((IF) \perp (CF)\)، أي زاوية المثلّث \(ICF\) في الرأس \(F\) قائمة.
✓ المثلّث \(ICF\) قائم الزاوية في \(F\).
⚠️ الزاوية القائمة في \(F\) وليست في \(C\)؛ الضلع العمودي على المستوي هو \([IF]\) والوتر هو \([IC]\).
السؤال 5: احسب البعد \(IC\).
نظرية فيثاغورس مطبّقة مرّتين: أوّلا في الوجه \((BCGF)\) لحساب \(CF\)، ثمّ في المثلّث القائم \(ICF\).
في الوجه المستطيل \(BCGF\): المثلّث \(BCF\) قائم الزاوية في \(B\) مع \(BC=6\) و\(BF=AE=10\)، إذن \(CF^2 = BC^2 + BF^2 = 6^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136\).
المثلّث \(ICF\) قائم الزاوية في \(F\) و\(IF=2\)، إذن \(IC^2 = IF^2 + CF^2 = 2^2 + 136 = 4 + 136 = 140\).
✓ \(IC = \sqrt{140} = 2\sqrt{35}\).
⚠️ لا تُحسب \(CF\) على أنها \(BC+BF=16\)؛ \([CF]\) قطر الوجه \(BCGF\) فيُحسب بنظرية فيثاغورس \(CF=\sqrt{136}=2\sqrt{34}\).