نعتبر هرمًا منتظمًا \(SABCD\) قمّته \(S\) و\(O\) مركز قاعدته المربّعة \(ABCD\) و\([SO]\) ارتفاعه، حيث \(AB = 3\sqrt{2}\) (وحدة قيس الطول اختيارية) و\(SB = \sqrt{2}\,SO\).
1. أ) احسب البعد \(OB\).
ب) بيّن أنّ المثلّث \(SBO\) قائم الزاوية في \(O\).
ج) بيّن أنّ \(SO = 3\).
2. لتكن \(K\) المسقط العمودي للنقطة \(O\) على \([SB]\). احسب البعد \(OK\).
3. أ) بيّن أنّ \((AC) \perp (SBD)\).
ب) احسب البعد \(CK\).
السؤال 1: أ) احسب البعد \(OB\). ب) بيّن أنّ المثلّث \(SBO\) قائم الزاوية في \(O\). ج) بيّن أنّ \(SO = 3\).
أ) القاعدة \(ABCD\) مربّع، فقطراه \([AC]\) و\([BD]\) متقايسان ويتقاطعان في منتصفهما وهو المركز \(O\)؛ ونحسب طول القطر بنظرية فيثاغورس في المثلّث \(ABD\) القائم في \(A\).
\(BD^2 = AB^2 + AD^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36\)، إذن \(BD = 6\)، ومنه \(OB = \dfrac{BD}{2} = 3\).
ب) الارتفاع \([SO]\) عمودي على مستوي القاعدة \((ABCD)\)، وإذا كان مستقيم عموديًا على مستوٍ فإنّه عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
بما أنّ \((SO) \perp (ABCD)\) و\((OB) \subset (ABCD)\) فإنّ \((SO) \perp (OB)\)، أي المثلّث \(SBO\) قائم الزاوية في \(O\).
ج) نطبّق نظرية فيثاغورس في المثلّث \(SBO\) القائم في \(O\) مع استعمال المعطى \(SB = \sqrt{2}\,SO\).
\(SB^2 = SO^2 + OB^2\)، وبما أنّ \(SB^2 = (\sqrt{2}\,SO)^2 = 2\,SO^2\) فإنّ \(2\,SO^2 = SO^2 + 3^2\)، ومنه \(SO^2 = 9\) وبالتالي \(SO = 3\).
✓ \(OB = 3\)، المثلّث \(SBO\) قائم الزاوية في \(O\)، و\(SO = 3\).
⚠️ \((\sqrt{2}\,SO)^2 = 2\,SO^2\) وليس \(\sqrt{2}\,SO^2\)؛ يُربَّع المعامل \(\sqrt{2}\) أيضًا فيعطي \(2\).
السؤال 2: لتكن \(K\) المسقط العمودي للنقطة \(O\) على \([SB]\). احسب البعد \(OK\).
في المثلّث \(SBO\) القائم في \(O\)، \([OK]\) هو الارتفاع المتعلّق بالوتر \([SB]\)؛ ومساحة المثلّث القائم تُحسب بطريقتين، فينتج \(OK \times SB = SO \times OB\).
لدينا \(SB = \sqrt{2}\,SO = \sqrt{2}\times 3 = 3\sqrt{2}\).
\(OK = \dfrac{SO \times OB}{SB} = \dfrac{3 \times 3}{3\sqrt{2}} = \dfrac{3}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\).
✓ \(OK = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}\) (أي ما يقارب \(2{,}12\)).
⚠️ \([OK]\) هو الارتفاع نحو الوتر وليس نصف ضلع؛ لا تكتب \(OK = \dfrac{OB}{2}\) بل استعمل علاقة المساحة في المثلّث القائم.
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((AC) \perp (SBD)\). ب) احسب البعد \(CK\).
أ) إذا كان مستقيم عموديًا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
في المربّع \(ABCD\) القطران متعامدان إذن \((AC) \perp (BD)\). ومن جهة أخرى \((SO) \perp (ABCD)\) و\((AC) \subset (ABCD)\) إذن \((AC) \perp (SO)\).
المستقيمان \((BD)\) و\((SO)\) متقاطعان في \(O\) ومحتويان في المستوي \((SBD)\)، و\((AC)\) عمودي عليهما معًا، إذن \((AC) \perp (SBD)\).
ب) بما أنّ \((AC) \perp (SBD)\) فإنّ \((OC) \perp (SBD)\)؛ والنقطة \(K \in [SB] \subset (SBD)\) فإنّ \((OK) \subset (SBD)\)، ومنه \((OC) \perp (OK)\) والمثلّث \(OKC\) قائم الزاوية في \(O\).
\(OC = OB = 3\) (نصف القطر)، وحسب نظرية فيثاغورس: \(CK^2 = OC^2 + OK^2 = 3^2 + \left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 9 + \dfrac{9}{2} = \dfrac{27}{2}\).
إذن \(CK = \sqrt{\dfrac{27}{2}} = \dfrac{3\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
✓ \((AC) \perp (SBD)\) و\(CK = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\) (أي ما يقارب \(3{,}67\)).
⚠️ \(CK \neq OC + OK\)؛ لأنّ \([OC]\) عمودي على المستوي \((SBD)\) فالمثلّث \(OKC\) قائم في \(O\) ويُحسب \(CK\) بفيثاغورس لا بالجمع المباشر.