نعتبر متوازي المستطيلات \(ABCDEFGH\) الذي قاعدتاه \(ABCD\) و\(EFGH\)، حيث \(E\) و\(F\) و\(G\) و\(H\) هي على التوالي رؤوس القاعدة العليا فوق \(A\) و\(B\) و\(C\) و\(D\) (الأحرف الجانبية \([AE]\) و\([BF]\) و\([CG]\) و\([DH]\)).
1. في متوازي المستطيلات \(ABCDEFGH\) لدينا \(AB=AD=2\) و\(EC=4\). بيّن أنّ \(AE=2\sqrt{2}\).
2. نفترض الآن أنّ \(ABCDEFGH\) مكعّب طول حرفه \(a\) (حيث \(a\) عدد حقيقي موجب تماما)، ولتكن \(O\) مركز الوجه \(ABCD\). بيّن أنّ \(OE=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\).
السؤال 1: بما أنّ \(AB=AD=2\) و\(EC=4\)، بيّن أنّ \(AE=2\sqrt{2}\).
القاعدة \(ABCD\) مربّع (لأنّ \(AB=AD\)) وقطرها \([AC]\). الحرف الجانبي \([AE]\) عمودي على القاعدة \((ABCD)\)، فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذه القاعدة، ومنه \((AE)\perp(AC)\) والمثلّث \(EAC\) قائم الزاوية في \(A\).
قطر المربّع: \(AC^2 = AB^2 + AD^2 = 2^2 + 2^2 = 4+4 = 8\)، إذن \(AC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
القطعة \([EC]\) قطر للمجسّم، وبنظرية فيثاغورس في المثلّث \(EAC\) القائم في \(A\): \(EC^2 = AE^2 + AC^2\)، أي \(4^2 = AE^2 + 8\)، ومنه \(AE^2 = 16 - 8 = 8\).
✓ \(AE = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\).
⚠️ \([EC]\) ليس قطر الوجه بل قطر المجسّم، ولا يُحسب بـ \(EC = AE + AC\). كما أنّ \(2\sqrt{3}\) خطأ لأنّ \((2\sqrt{3})^2 = 12 \neq 8\).
السؤال 2: إذا كان \(ABCDEFGH\) مكعّبا طول حرفه \(a\) و\(O\) مركز الوجه \(ABCD\)، بيّن أنّ \(OE=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}\).
في المكعّب القاعدة \(ABCD\) مربّع طول ضلعه \(a\). النقطة \(O\) مركزه أي منتصف قطريه، والحرف \([AE]\) عمودي على القاعدة فهو عمودي على \([OA]\)، والمثلّث \(EAO\) قائم الزاوية في \(A\).
قطر القاعدة: \(AC = a\sqrt{2}\)، وبما أنّ \(O\) منتصف \([AC]\) فإنّ \(OA = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\).
بنظرية فيثاغورس في المثلّث \(EAO\) القائم في \(A\): \(OE^2 = OA^2 + AE^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 + a^2 = \dfrac{2a^2}{4} + a^2 = \dfrac{a^2}{2} + a^2 = \dfrac{3a^2}{2}\).
✓ \(OE = \sqrt{\dfrac{3a^2}{2}} = a\sqrt{\dfrac{3}{2}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}\).
⚠️ نصف قطر المربّع هو \(OA = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}\) وليس \(\dfrac{a}{2}\)؛ الخلط بينهما يعطي \(OE=\dfrac{a\sqrt{5}}{2}\) وهو خطأ.