نعتبر مكعّبا \(ABCDEFGH\) حيث \(AB=2\sqrt{2}\)، قاعدته السفلى \(ABCD\) ووجهه الأمامي \(ABFE\). لتكن \(I\) منتصف \([AB]\) و\(J\) منتصف \([BF]\).
1. احسب \(IJ\) و\(ID\) و\(IH\) و\(HJ\)، ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(IJH\) متساوي الساقين.
2. ليكن \([HK]\) ارتفاع المثلّث \(IJH\) الموافق للقاعدة \([IJ]\). احسب \(HK\).
3. احسب \(JD\) ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(JDH\) متساوي الساقين.
4. لتكن \(M\) منتصف \([HD]\). بيّن أنّ \((JM)\perp(HD)\).
5. احسب \(JM\) و\(IM\).
السؤال 1: احسب \(IJ\) و\(ID\) و\(IH\) و\(HJ\)، ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(IJH\) متساوي الساقين.
نظرية فيثاغورس مطبّقة في مثلّثات قائمة داخل المكعّب، فالأحرف المتجاورة للمكعّب متعامدة مثنى مثنى.
\(IJ\): في المثلّث \(IBJ\) القائم في \(B\) (لأنّ \((BA)\perp(BF)\))، \(IB=\dfrac{AB}{2}=\sqrt{2}\) و\(BJ=\dfrac{BF}{2}=\sqrt{2}\)، إذن \(IJ^2=IB^2+BJ^2=2+2=4\) و\(IJ=2\).
\(ID\): في المثلّث \(IAD\) القائم في \(A\)، \(IA=\sqrt{2}\) و\(AD=2\sqrt{2}\)، إذن \(ID^2=IA^2+AD^2=2+8=10\) و\(ID=\sqrt{10}\).
\(IH\): الحرف \((DH)\perp(ABCD)\) إذن \((DH)\perp(DI)\) والمثلّث \(IDH\) قائم في \(D\): \(IH^2=ID^2+DH^2=10+(2\sqrt{2})^2=10+8=18\)، إذن \(IH=\sqrt{18}=3\sqrt{2}\).
\(HJ\): في المثلّث \(HFJ\) القائم في \(F\) (لأنّ \((FB)\perp\) الوجه العلوي \(EFGH\))، \(FH=4\) (قطر الوجه العلوي: \(FH^2=(2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2=16\)) و\(FJ=\sqrt{2}\)، إذن \(HJ^2=FH^2+FJ^2=16+2=18\) و\(HJ=3\sqrt{2}\).
✓ \(IJ=2\)، \(ID=\sqrt{10}\)، \(IH=HJ=3\sqrt{2}\)؛ وبما أنّ \(IH=HJ\) فالمثلّث \(IJH\) متساوي الساقين رأسه \(H\).
⚠️ النقطة \(H\) ليست في مستوي القاعدة، فلا تُحسب \(IH\) مباشرة بل عبر المثلّث القائم \(IDH\)؛ ولاحظ أنّ \((2\sqrt{2})^2=8\) وليس \(4\sqrt{2}\).
السؤال 2: ليكن \([HK]\) ارتفاع المثلّث \(IJH\) الموافق للقاعدة \([IJ]\). احسب \(HK\).
في مثلّث متساوي الساقين، الارتفاع الوارد من الرأس الرئيسي هو أيضا متوسط، فرِجْلُه \(K\) هي منتصف القاعدة \([IJ]\).
المثلّث \(IJH\) متساوي الساقين رأسه \(H\)، إذن \(K\) منتصف \([IJ]\) و\(IK=\dfrac{IJ}{2}=1\).
المثلّث \(HKI\) قائم في \(K\): \(HK^2=IH^2-IK^2=18-1=17\)، إذن \(HK=\sqrt{17}\).
✓ \(HK=\sqrt{17}\).
⚠️ استعمل نصف القاعدة \(IK=1\) في فيثاغورس وليس \(IJ=2\)، ولا تنسَ أنّ \(IH^2=18\).
السؤال 3: احسب \(JD\) ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(JDH\) متساوي الساقين.
نظرية فيثاغورس عبر إسقاط \(J\) على القاعدة، ثمّ تعريف المثلّث المتساوي الساقين.
النقطة \(J\) تُسقط عموديا على \(B\) (لأنّ \((BF)\perp(ABCD)\))، فـ\(JB=\dfrac{BF}{2}=\sqrt{2}\) و\((JB)\perp(ABCD)\).
المثلّث \(JBD\) قائم في \(B\)، و\(BD=4\) (قطر المربّع \(ABCD\): \(BD^2=AB^2+AD^2=8+8=16\))، إذن \(JD^2=JB^2+BD^2=2+16=18\) و\(JD=3\sqrt{2}\).
✓ \(JD=3\sqrt{2}=JH\)، وبما أنّ \(JD=JH\) فالمثلّث \(JDH\) متساوي الساقين رأسه \(J\).
⚠️ رأس التساوي هنا هو \(J\) (لأنّ \(JD=JH\)) وليس \(D\)؛ والقاعدة هي \([DH]\).
السؤال 4: لتكن \(M\) منتصف \([HD]\). بيّن أنّ \((JM)\perp(HD)\).
في مثلّث متساوي الساقين، المتوسط الوارد من الرأس الرئيسي عمودي على القاعدة (فهو الارتفاع والمنصّف في آنٍ واحد).
المثلّث \(JDH\) متساوي الساقين رأسه \(J\) (حسب السؤال 3)، و\(M\) منتصف القاعدة \([HD]\)، إذن \([JM]\) هو المتوسط الوارد من الرأس \(J\).
✓ إذن \((JM)\perp(HD)\).
⚠️ هذه الخاصية تصحّ فقط لأنّ المثلّث متساوي الساقين رأسه \(J\) و\(M\) منتصف القاعدة؛ لو لم يكن رأس التساوي \(J\) لما تحقّق التعامد.
السؤال 5: احسب \(JM\) و\(IM\).
نظرية فيثاغورس في المثلّثين القائمين \(JMD\) و\(IMD\).
\(JM\): بما أنّ \((JM)\perp(HD)\) فالمثلّث \(JMD\) قائم في \(M\)، و\(DM=\dfrac{HD}{2}=\sqrt{2}\)، إذن \(JM^2=JD^2-DM^2=18-2=16\) و\(JM=4\).
\(IM\): النقطة \(M\) منتصف \([HD]\) فتُسقط على \(D\) بارتفاع \(MD=\sqrt{2}\) و\((MD)\perp(ABCD)\supset(DI)\)، فالمثلّث \(IMD\) قائم في \(D\): \(IM^2=MD^2+ID^2=2+10=12\) و\(IM=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\).
✓ \(JM=4\) و\(IM=2\sqrt{3}\).
⚠️ في حساب \(JM\) استعمل \(DM=\sqrt{2}\) (نصف \([HD]\)) لا \(HD=2\sqrt{2}\).