نعتبر مكعبا \(ABCDEFGH\) حيث \(AB=2\sqrt{2}\)، قاعدته السفلى \(ABCD\) ووجهه الأمامي \(ABFE\). لتكن \(I\) منتصف \([AB]\) و\(J\) منتصف \([BF]\).
1. احسب \(IJ\) و\(ID\) و\(IH\) و\(HJ\). استنتج أنّ المثلّث \(IJH\) متقايس الضلعين.
2. ليكن \([HK]\) ارتفاع المثلّث \(IJH\) الموافق للقاعدة \([IJ]\). احسب \(HK\).
3. احسب \(JD\) ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(JDH\) متقايس الضلعين.
4. لتكن \(M\) منتصف \([HD]\). بيّن أنّ \((JM)\perp(HD)\).
5. احسب \(JM\) و\(IM\).
السؤال 1: احسب \(IJ\) و\(ID\) و\(IH\) و\(HJ\). استنتج أنّ المثلّث \(IJH\) متقايس الضلعين.
نظرية فيثاغورس داخل مثلّثات قائمة في المكعب؛ أحرف المكعب متساوية وطولها \(2\sqrt{2}\) أي \(AB^2=8\).
في المربّع \(ABFE\): المثلّث \(IBJ\) قائم في \(B\)، حيث \(IB=BJ=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)، إذن \(IJ^2=IB^2+BJ^2=2+2=4\) و\(IJ=2\).
في القاعدة \(ABCD\): المثلّث \(IAD\) قائم في \(A\)، \(IA=\sqrt{2}\) و\(AD=2\sqrt{2}\)، إذن \(ID^2=IA^2+AD^2=2+8=10\) و\(ID=\sqrt{10}\).
بما أنّ \((DH)\perp(ABCD)\) فالمثلّث \(IDH\) قائم في \(D\)، و\(DH=2\sqrt{2}\)، إذن \(IH^2=ID^2+DH^2=10+8=18\) و\(IH=3\sqrt{2}\).
\([HF]\) قطر الوجه العلوي: \(HF^2=8+8=16\) أي \(HF=4\)؛ والمثلّث \(HFJ\) قائم في \(F\) لأنّ \([FJ]\subset(BF)\perp\) الوجه العلوي، \(FJ=\sqrt{2}\)، إذن \(HJ^2=HF^2+FJ^2=16+2=18\) و\(HJ=3\sqrt{2}\).
✓ \(IJ=2\)، \(ID=\sqrt{10}\)، \(IH=HJ=3\sqrt{2}\)؛ وبما أنّ \(IH=HJ\) فالمثلّث \(IJH\) متقايس الضلعين رأسه \(H\).
⚠️ \((2\sqrt{2})^2=4\times 2=8\) وليس \(4\)؛ وانتبه أنّ \(IA\) نصف الحرف أي \(\sqrt{2}\) وليس \(2\sqrt{2}\).
السؤال 2: ليكن \([HK]\) ارتفاع المثلّث \(IJH\) الموافق للقاعدة \([IJ]\). احسب \(HK\).
في مثلّث متقايس الضلعين، الارتفاع النابع من الرأس الرئيسي يمرّ بمنتصف القاعدة؛ إذن \(K\) منتصف \([IJ]\) والمثلّث \(HKI\) قائم في \(K\).
\(IK=\dfrac{IJ}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)، وحسب نظرية فيثاغورس في المثلّث \(HKI\): \(HK^2=IH^2-IK^2=18-1=17\)، إذن \(HK=\sqrt{17}\).
✓ \(HK=\sqrt{17}\).
⚠️ الوتر في المثلّث \(HKI\) هو الضلع المتقايس \([IH]\) وليس القاعدة \([IJ]\)؛ نطرح مربّع نصف القاعدة من مربّع الضلع.
السؤال 3: احسب \(JD\) ثمّ استنتج أنّ المثلّث \(JDH\) متقايس الضلعين.
نظرية فيثاغورس مع قطر القاعدة \([BD]\) والحرف الجانبي \([BF]\) العمودي على القاعدة.
\(BD^2=AB^2+AD^2=8+8=16\) أي \(BD=4\)؛ والمثلّث \(BJD\) قائم في \(B\) لأنّ \([BJ]\subset(BF)\perp(ABCD)\)، \(BJ=\sqrt{2}\)، إذن \(JD^2=BJ^2+BD^2=2+16=18\) و\(JD=3\sqrt{2}\).
من السؤال 1 لدينا \(JH=3\sqrt{2}\)، إذن \(JD=JH=3\sqrt{2}\).
✓ \(JD=3\sqrt{2}\)؛ وبما أنّ \(JD=JH\) فالمثلّث \(JDH\) متقايس الضلعين رأسه \(J\).
⚠️ \([BD]\) قطر القاعدة يُحسب بفيثاغورس فيساوي \(4\)، وليس ضلعا يساوي \(2\sqrt{2}\).
السؤال 4: لتكن \(M\) منتصف \([HD]\). بيّن أنّ \((JM)\perp(HD)\).
في المثلّث متقايس الضلعين، الوسيط النابع من الرأس الرئيسي هو نفسه الارتفاع (محور تناظر المثلّث).
المثلّث \(JDH\) متقايس الضلعين رأسه \(J\) (\(JD=JH=3\sqrt{2}\))، و\(M\) منتصف القاعدة \([HD]\)، فالوسيط \([JM]\) هو ارتفاع المثلّث الموافق لهذه القاعدة.
✓ \((JM)\perp(HD)\).
⚠️ هذه الخاصية تصحّ لأنّ \(JDH\) متقايس الضلعين رأسه \(J\)؛ لو لم يكن كذلك لما كان الوسيط ارتفاعا.
السؤال 5: احسب \(JM\) و\(IM\).
نظرية فيثاغورس في مثلّثين قائمين: \(JMH\) قائم في \(M\)، و\(IDM\) قائم في \(D\).
من السؤال 4 المثلّث \(JMH\) قائم في \(M\)، و\(MH=\dfrac{HD}{2}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\)، إذن \(JM^2=JH^2-MH^2=18-2=16\) و\(JM=4\).
\([DM]\subset(DH)\perp(ABCD)\) و\([ID]\subset(ABCD)\)، فالمثلّث \(IDM\) قائم في \(D\)؛ \(DM=\sqrt{2}\) و\(ID=\sqrt{10}\)، إذن \(IM^2=ID^2+DM^2=10+2=12\) و\(IM=2\sqrt{3}\).
✓ \(JM=4\) و\(IM=2\sqrt{3}\).
⚠️ \(MH=\sqrt{2}\) هو نصف الحرف \([HD]\) وليس الحرف كاملا؛ و\(\sqrt{12}=2\sqrt{3}\) وليس \(\sqrt{6}\).