الجسم المصاحب يمثل مكعبا \(ABCDEFGH\) قيس طول حرفه \(4\).
1. احسب \(BD\).
2. بيّن أن \((ACD)\) عمودي على \((DH)\)، ثم استنتج أن المثلث \(BDH\) قائم الزاوية في \(D\)، وأخيرا احسب \(BH\).
3. لتكن \(M\) منتصف \([EH]\) و\(N\) منتصف \([CG]\). بيّن أن المثلث \(MGN\) قائم الزاوية في \(G\).
4. احسب \(NH\) و\(MH\) و\(MN\)، ثم استنتج أن المثلث \(MNH\) قائم الزاوية.
5. \(K\) نقطة من \([HD]\) بحيث \(HK=3\). المستقيم المار من \(K\) والموازي لـ\((BD)\) يقطع \((BH)\) في نقطة \(L\). احسب \(KL\) و\(HL\).
السؤال 1: احسب \(BD\).
نظرية فيثاغورس في المثلث القائم \(ABD\).
الوجه \(ABCD\) مربع قيس ضلعه \(4\)، فالمثلث \(ABD\) قائم الزاوية في \(A\).
\(BD^2=AB^2+AD^2=4^2+4^2=16+16=32\).
✓ \(BD=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\).
⚠️ لا نكتب \(BD=AB+AD=8\): قطر المربع ليس مجموع ضلعيه.
السؤال 2: بيّن أن \((ACD)\) عمودي على \((DH)\)، ثم استنتج أن المثلث \(BDH\) قائم في \(D\) واحسب \(BH\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي، ثم نظرية فيثاغورس.
\((DH)\perp(DA)\) لأن الوجه \(ADHE\) مربع، و\((DH)\perp(DC)\) لأن الوجه \(DCGH\) مربع، والمستقيمان \((DA)\) و\((DC)\) متقاطعان في \(D\) وينتميان إلى \((ACD)\). إذن \((DH)\perp(ACD)\).
بما أن \((BD)\subset(ACD)\) فإن \((DH)\perp(BD)\)، فالمثلث \(BDH\) قائم الزاوية في \(D\).
\(BH^2=BD^2+DH^2=32+16=48\).
✓ \((DH)\perp(ACD)\)، المثلث \(BDH\) قائم في \(D\)، و\(BH=\sqrt{48}=4\sqrt{3}\).
⚠️ لا يكفي تعامد \((DH)\) مع مستقيم واحد؛ يجب التعامد مع مستقيمين متقاطعين من المستوي.
السؤال 3: \(M\) منتصف \([EH]\) و\(N\) منتصف \([CG]\). بيّن أن المثلث \(MGN\) قائم الزاوية في \(G\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كل مستقيم من ذلك المستوي.
الحرف \((CG)\) عمودي على مستوى الوجه العلوي \((EFGH)\)، والنقطة \(N\) تنتمي إلى \([CG]\) فيكون \((GN)\perp(EFGH)\).
النقطة \(M\) منتصف \([EH]\) فهي تنتمي إلى المستوي \((EFGH)\) الذي يحوي \((GM)\)، إذن \((GN)\perp(GM)\).
✓ المثلث \(MGN\) قائم الزاوية في \(G\)، مع \(GN=\dfrac{CG}{2}=2\) و\(GM=\sqrt{GH^2+HM^2}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5}\).
⚠️ لا نخلط بين \(M\) منتصف الحرف والرأس \(H\): \(HM=2\) وليس \(4\).
السؤال 4: احسب \(NH\) و\(MH\) و\(MN\)، ثم استنتج أن المثلث \(MNH\) قائم الزاوية.
حساب الأطوال بنظرية فيثاغورس ثم النظرية العكسية لفيثاغورس.
\(M\) منتصف \([EH]\) إذن \(MH=\dfrac{EH}{2}=\dfrac{4}{2}=2\).
المثلث \(NGH\) قائم في \(G\) (لأن \((GN)\perp(EFGH)\) و\((GH)\subset(EFGH)\)): \(NH^2=NG^2+GH^2=2^2+4^2=4+16=20\)، إذن \(NH=2\sqrt{5}\).
من السؤال 3: \(MN^2=MG^2+GN^2=20+4=24\) أي \(MN=2\sqrt{6}\).
\(MH^2+NH^2=4+20=24=MN^2\).
✓ حسب النظرية العكسية لفيثاغورس المثلث \(MNH\) قائم الزاوية في \(H\).
⚠️ الوتر هو \([MN]\) لأن \(MN^2\) هو المجموع؛ فالزاوية القائمة في \(H\) لا في \(M\) ولا في \(N\).
السؤال 5: \(K\in[HD]\) و\(HK=3\)، والمستقيم المار من \(K\) الموازي لـ\((BD)\) يقطع \((BH)\) في \(L\). احسب \(KL\) و\(HL\).
مبرهنة طالس في المثلث \(HDB\).
في المثلث \(HDB\): \(K\in[HD]\) و\(L\in[HB]\) و\((KL)\parallel(DB)\)، فحسب مبرهنة طالس: \(\dfrac{HK}{HD}=\dfrac{HL}{HB}=\dfrac{KL}{DB}=\dfrac{3}{4}\).
\(KL=\dfrac{3}{4}\times DB=\dfrac{3}{4}\times 4\sqrt{2}=3\sqrt{2}\).
\(HL=\dfrac{3}{4}\times HB=\dfrac{3}{4}\times 4\sqrt{3}=3\sqrt{3}\).
✓ \(KL=3\sqrt{2}\) و\(HL=3\sqrt{3}\).
⚠️ النسبة هي \(\dfrac{HK}{HD}=\dfrac{3}{4}\) لأن \(HD=4\) (طول الحرف)، وليست \(\dfrac{3}{1}\).