الشكل المقابل يمثّل متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\)، حيث \(M\) نقطة من الحرف \([CD]\) و\(N\) نقطة من الحرف \([BC]\).
1. بيّن أن \((MN) \subset (ABC)\).
2. بيّن أن المستقيم \((MN)\) يقطع المستقيم \((AB)\) في نقطة \(K\). ارسم هذه النقطة.
3. بيّن أن المستقيم \((MN)\) يقطع المستوي \((ABE)\) في النقطة \(K\).
4. بيّن أن \((AB)//(EFG)\).
5. بيّن أن المستوي \((ABD)\) عمودي على المستقيم \((AE)\)، ثم استنتج أن المثلث \(AEC\) قائم الزاوية في \(A\).
6. بيّن أن \((CG)//(AE)\).
السؤال 1: بيّن أن \((MN) \subset (ABC)\).
إذا كانت نقطتان من مستقيم تنتميان إلى مستوٍ فإن المستقيم بأكمله محتوًى في هذا المستوي.
النقطة \(M\) من الحرف \([CD]\) و\([CD] \subset (ABCD)\)، والمستوي \((ABCD)\) هو نفسه المستوي \((ABC)\)، إذن \(M \in (ABC)\).
النقطة \(N\) من الحرف \([BC]\) و\([BC] \subset (ABCD)=(ABC)\)، إذن \(N \in (ABC)\).
✓ بما أن \(M \in (ABC)\) و\(N \in (ABC)\) فإن \((MN) \subset (ABC)\).
⚠️ لا تخلط بين احتواء مستقيم في مستوٍ وتوازيه معه: هنا نقطتان من \((MN)\) تنتميان فعليًا إلى \((ABC)\).
السؤال 2: بيّن أن المستقيم \((MN)\) يقطع المستقيم \((AB)\) في نقطة \(K\). ارسم هذه النقطة.
في نفس المستوي، مستقيمان غير متوازيين يتقاطعان في نقطة وحيدة.
في المستطيل \(ABCD\) لدينا \((AB)//(DC)\). لو كان \((MN)//(AB)\) لكان \((MN)//(DC)\)، لكن \((MN)\) يقطع \((DC)\) في \(M\) والنقطة \(N\) لا تنتمي إلى \((DC)\)، وهذا تناقض.
إذن \((MN)\) و\((AB)\) غير متوازيين، وهما محتويان معًا في المستوي \((ABC)\).
✓ يتقاطع \((MN)\) و\((AB)\) في نقطة وحيدة \(K\) من المستوي \((ABC)\).
⚠️ النقطة \(K\) قد تقع خارج القطعة \([AB]\) لكنها تبقى دائمًا على المستقيم \((AB)\).
السؤال 3: بيّن أن المستقيم \((MN)\) يقطع المستوي \((ABE)\) في النقطة \(K\).
إذا كان لمستقيم ومستوٍ نقطة مشتركة وحيدة فإن المستقيم يقطع المستوي في تلك النقطة.
من السؤال السابق \(K \in (MN)\) و\(K \in (AB)\)، وبما أن \((AB) \subset (ABE)\) فإن \(K \in (ABE)\). إذن \(K\) نقطة مشتركة بين \((MN)\) و\((ABE)\).
النقطة \(M\) من \((MN)\) تنتمي إلى الوجه \((ABCD)\) ولا تنتمي إلى الوجه \((ABE)\)، إذن \((MN)\) غير محتوًى في \((ABE)\).
✓ \((MN) \cap (ABE) = \{K\}\)، أي أن \((MN)\) يقطع \((ABE)\) في النقطة \(K\) فقط.
⚠️ لا تقل إن \((MN)\) محتوًى في \((ABE)\): فله معه نقطة وحيدة مشتركة هي \(K\).
السؤال 4: بيّن أن \((AB)//(EFG)\).
إذا كان مستقيم يوازي مستقيمًا من مستوٍ ولا ينتمي إليه فإنه يوازي هذا المستوي.
الوجه \(ABFE\) مستطيل، إذن \((AB)//(EF)\).
المستقيم \((EF)\) محتوًى في المستوي \((EFG)\)، والمستقيم \((AB)\) غير محتوًى في \((EFG)\).
✓ إذن \((AB)//(EFG)\).
⚠️ يجب التأكد أن \((AB)\) لا ينتمي إلى \((EFG)\)؛ وإلا لا نتحدث عن توازٍ بل عن احتواء.
السؤال 5: بيّن أن المستوي \((ABD)\) عمودي على المستقيم \((AE)\)، ثم استنتج أن المثلث \(AEC\) قائم الزاوية في \(A\).
إذا كان مستقيم عموديًا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فإنه عمودي على هذا المستوي.
الوجهان \(ABFE\) و\(ADHE\) مستطيلان، إذن \((AE) \perp (AB)\) و\((AE) \perp (AD)\).
المستقيمان \((AB)\) و\((AD)\) متقاطعان في \(A\) ومحتويان في المستوي \((ABD)\)، إذن \((AE) \perp (ABD)\).
القطر \((AC)\) محتوًى في المستوي \((ABD)=(ABC)\)، وبما أن \((AE) \perp (ABD)\) فإن \((AE) \perp (AC)\).
✓ إذن المثلث \(AEC\) قائم الزاوية في \(A\).
⚠️ لا يكفي أن يكون \((AE)\) عموديًا على مستقيم واحد من المستوي؛ نحتاج مستقيمين متقاطعين لإثبات التعامد على المستوي.
السؤال 6: بيّن أن \((CG)//(AE)\).
مستقيمان عموديان على نفس المستوي متوازيان.
من السؤال 5: \((AE) \perp (ABC)\).
الوجهان \(BCGF\) و\(DCGH\) مستطيلان، إذن \((CG) \perp (CB)\) و\((CG) \perp (CD)\)، والمستقيمان \((CB)\) و\((CD)\) متقاطعان في \(C\) ومحتويان في \((ABC)\)، إذن \((CG) \perp (ABC)\).
✓ بما أن \((AE)\) و\((CG)\) عموديان على نفس المستوي \((ABC)\) فإن \((CG)//(AE)\).
⚠️ مستقيمان عموديان على نفس المستوي يكونان متوازيين وليسا متقاطعين.