\(SABCD\) هرم قمته \(S\) وقاعدته المستطيل \(ABCD\). النقطة \(M\) منتصف \([SC]\) والنقطة \(N\) منتصف \([SB]\).
1. بيّن أنّ \((MN)//(SAD)\).
2. يتقاطع المستقيمان \((AN)\) و\((DM)\) في النقطة \(P\). حدّد تقاطع المستويين \((SAB)\) و\((SCD)\).
3. بيّن أنّ \((SP)//(AB)\) وأنّ \(BP=AS\).
السؤال 1: بيّن أنّ \((MN)//(SAD)\).
مبرهنة الخط المتوسط: في مثلث، المستقيم الواصل بين منتصفَي ضلعين يوازي الضلع الثالث. وخاصية: إذا وازى مستقيمٌ مستقيمًا من مستوٍ ولم ينتمِ إليه فهو يوازي هذا المستوي.
في المثلث \(SBC\): \(N\) منتصف \([SB]\) و\(M\) منتصف \([SC]\)، إذن \([MN]\) خط متوسط، ومنه \((MN)//(BC)\).
وبما أنّ \(ABCD\) مستطيل فإنّ \((BC)//(AD)\)، ومنه بالتعدية \((MN)//(AD)\).
المستقيم \((AD)\) محتوى في المستوي \((SAD)\)، والمستقيم \((MN)\) يوازيه ولا ينتمي إليه.
✓ إذن \((MN)//(SAD)\).
⚠️ لا يكفي أنّ \((MN)//(AD)\)؛ يجب التأكّد أنّ \((MN)\) لا ينتمي إلى \((SAD)\) قبل استنتاج توازيه مع المستوي.
السؤال 2: يتقاطع المستقيمان \((AN)\) و\((DM)\) في \(P\). حدّد تقاطع المستويين \((SAB)\) و\((SCD)\).
إذا كان لمستويين متمايزين نقطتان مشتركتان فإنّ تقاطعهما هو المستقيم المارّ بهاتين النقطتين.
النقاط \(A\) و\(S\) و\(B\) و\(N\) تنتمي إلى \((SAB)\) لأنّ \(N\in[SB]\)، إذن \((AN)\subset(SAB)\). والنقاط \(D\) و\(S\) و\(C\) و\(M\) تنتمي إلى \((SCD)\) لأنّ \(M\in[SC]\)، إذن \((DM)\subset(SCD)\).
بما أنّ \(P\in(AN)\subset(SAB)\) و\(P\in(DM)\subset(SCD)\) فإنّ \(P\) نقطة مشتركة بين المستويين، والنقطة \(S\) أيضًا مشتركة بينهما، والمستويان متمايزان.
✓ إذن \((SAB)\cap(SCD)=(SP)\).
⚠️ المستويان \((SAB)\) و\((SCD)\) ليسا متوازيين رغم أنّ \((AB)//(CD)\)؛ فهما يشتركان في النقطتين \(S\) و\(P\).
السؤال 3: بيّن أنّ \((SP)//(AB)\) وأنّ \(BP=AS\).
إذا احتوى مستويان متقاطعان مستقيمين متوازيين، كلٌّ في أحدهما، فإنّ مستقيم تقاطعهما يوازيهما. وخاصية: رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتقايسان هو متوازي أضلاع.
\((AB)\subset(SAB)\) و\((CD)\subset(SCD)\) و\((AB)//(CD)\)، وتقاطع المستويين هو \((SP)\)، إذن \((SP)//(AB)\) (وكذلك \((SP)//(CD)\)).
في المستوي \((SAB)\): المثلثان \(NSP\) و\(NBA\) لهما \(NS=NB\) (لأنّ \(N\) منتصف \([SB]\))، والزاويتان \(\widehat{SNP}\) و\(\widehat{BNA}\) متقابلتان بالرأس، والزاويتان \(\widehat{NSP}\) و\(\widehat{NBA}\) متبادلتان داخليًا (لأنّ \((SP)//(AB)\))، فهما متقايسان، ومنه \(SP=AB\).
إذن في الرباعي \(ABPS\) الضلعان \([AB]\) و\([SP]\) متوازيان ومتقايسان، فهو متوازي أضلاع، ومنه \(BP=AS\).
✓ \((SP)//(AB)\) و\(BP=AS\).
⚠️ ترتيب الرؤوس مهمّ: المتوازي هو \(ABPS\) (\([BP]\) و\([AS]\) ضلعان متقابلان فيه)، وليس \(ABSP\).