\(ABCDEFGH\) مكعب طول حرفه \(2\sqrt{3}\)، ولتكن \(I\) منتصف الحرف \([EF]\).
1. أحسب حجم المكعب.
2. بيّن أن المثلث \(BFD\) قائم الزاوية في \(B\).
3. أ. بيّن أن \(BDHF\) مستطيل.
ب. أحسب محيط المثلث \(IDF\).
4. هل المثلث \(IDF\) قائم الزاوية؟
5. بيّن أن \((FD)\) و\((BC)\) غير متوازيين.
6. بيّن أن \((BC)\) و\((IFD)\) متقاطعان، وارسم نقطة تقاطعهما.
7. بيّن أن المستويين \((IFD)\) و\((AEH)\) متقاطعان.
8. لتكن \(O\) مركز المستطيل \(BDHF\). أحسب \(OI\).
9. بيّن أن \((OI)//(AEH)\).
السؤال 1: أحسب حجم المكعب.
حجم المكعب يساوي مكعّب طول حرفه: \(V=a^3\) حيث \(a=2\sqrt{3}\).
\(V=(2\sqrt{3})^3=2^3\times(\sqrt{3})^3=8\times 3\sqrt{3}\).
✓ حجم المكعب هو \(V=24\sqrt{3}\) وحدة حجم.
⚠️ لا تنسَ رفع الجذر إلى التكعيب: \((\sqrt{3})^3=3\sqrt{3}\) وليس \(3\).
السؤال 2: بيّن أن المثلث \(BFD\) قائم الزاوية في \(B\).
الحرف \([BF]\) حرف جانبي عمودي على المستوي \((ABCD)\)، وكل مستقيم من هذا المستوي يكون عموديا عليه؛ خاصة \((BF)\perp(BD)\).
إذن المثلث \(BFD\) قائم الزاوية في \(B\). ولدينا \(BD\) قطر المربع \(ABCD\) فطوله \(BD=2\sqrt{3}\times\sqrt{2}=2\sqrt{6}\) و\(BF=2\sqrt{3}\).
بنظرية فيثاغورس: \(FD^2=BF^2+BD^2=(2\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2=12+24=36\) إذن \(FD=6\).
✓ المثلث \(BFD\) قائم الزاوية في \(B\) و\(FD=6\) (القطر الكبير للمكعب).
⚠️ التعامد هنا بين مستقيمين في الفضاء ناتج عن تعامد الحرف مع المستوي \((BF)\perp(ABCD)\)، ولا يُقرأ مباشرة من الشكل.
السؤال 3: أ. بيّن أن \(BDHF\) مستطيل. ب. أحسب محيط المثلث \(IDF\).
أ. الرباعي \(BDHF\) متوازي أضلاع لأن \([BF]\) و\([DH]\) حرفان جانبيان متقايسان ومتوازيان؛ والحرف \([DH]\) عمودي على \((ABCD)\) فهو عمودي على \((BD)\).
أ. وجود زاوية قائمة في \(D\) في متوازي الأضلاع \(BDHF\) يجعله مستطيلا، أضلاعه \(BD=2\sqrt{6}\) و\(DH=2\sqrt{3}\).
ب. بما أن \(I\) منتصف \([EF]\) فإن \(IF=\dfrac{EF}{2}=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\). و\(DF=6\) (من السؤال 2).
ب. المثلث \(IED\) قائم في \(E\) لأن \((IE)\) محمول على الحرف \([EF]\) العمودي على الوجه \(AEHD\) الذي يحوي \((ED)\)؛ ومنه \(ID^2=IE^2+ED^2=(\sqrt{3})^2+(2\sqrt{6})^2=3+24=27\) إذن \(ID=3\sqrt{3}\).
✓ \(BDHF\) مستطيل، ومحيط المثلث \(IDF\) هو \(DF+ID+IF=6+3\sqrt{3}+\sqrt{3}=6+4\sqrt{3}\).
⚠️ \([DF]\) هو القطر الكبير للمكعب \((DF=6)\) وليس ضلعا للمستطيل \(BDHF\).
السؤال 4: هل المثلث \(IDF\) قائم الزاوية؟
نستعمل عكس نظرية فيثاغورس: المثلث قائم إذا وفقط إذا كان مربّع أطول أضلاعه يساوي مجموع مربّعي الضلعين الآخرين.
\(DF^2=36\) و\(ID^2=(3\sqrt{3})^2=27\) و\(IF^2=(\sqrt{3})^2=3\). أطول ضلع هو \([DF]\).
\(ID^2+IF^2=27+3=30\) بينما \(DF^2=36\)، و\(30\neq 36\).
✓ بما أن \(ID^2+IF^2\neq DF^2\) فإن المثلث \(IDF\) ليس قائم الزاوية.
⚠️ يجب مقارنة مربّع أطول ضلع \((DF)\) لا أي ضلع آخر؛ وتقارب العددين \(30\) و\(36\) لا يعني القائمية.
السؤال 5: بيّن أن \((FD)\) و\((BC)\) غير متوازيين.
خاصية تعدّي التوازي: إذا وازى مستقيمان مستقيما ثالثا فهما متوازيان فيما بينهما.
في المربع \(ABCD\) لدينا \((BC)//(AD)\). لو كان \((FD)//(BC)\) لكان \((FD)//(AD)\).
وبما أن \((FD)\) و\((AD)\) يمرّان معا بالنقطة \(D\) فإنهما يتطابقان، أي \(F\in(AD)\)، وهذا مستحيل لأن \(F\) خارج مستوي القاعدة \((ABCD)\).
✓ إذن \((FD)\) و\((BC)\) غير متوازيين (بل هما متخالفان).
⚠️ عدم تقاطعهما ظاهريا لا يكفي؛ في الفضاء يوجد مستقيمان غير متوازيين وغير متقاطعين (متخالفان).
السؤال 6: بيّن أن \((BC)\) و\((IFD)\) متقاطعان، وارسم نقطة تقاطعهما.
يقطع مستقيمٌ مستويا في نقطة إذا لم يكن موازيا له ولا محمولا عليه.
بما أن \(I\in[EF]\) والنقاط \(E,F,I\) في استقامية فإن المستوي \((IFD)\) هو نفسه المستوي المارّ بـ \(E,F,D\).
لدينا \((EF)//(DC)\) و\(EF=DC=2\sqrt{3}\)، إذن \(EFCD\) متوازي أضلاع فالنقطة \(C\) تنتمي إلى المستوي \((IFD)\). وبما أن \(C\in(BC)\) و\(B\notin(IFD)\) فالمستقيم يقطع المستوي ولا يُحمل عليه.
✓ \((BC)\cap(IFD)=\{C\}\)؛ نقطة التقاطع هي الرأس \(C\).
⚠️ النقطة \(C\) الموجودة على الشكل هي نفسها نقطة التقاطع؛ لا حاجة لإنشاء نقطة جديدة خارج المكعب.
السؤال 7: بيّن أن المستويين \((IFD)\) و\((AEH)\) متقاطعان.
يتقاطع مستويان في مستقيم إذا كان لهما نقطة مشتركة على الأقل وكانا مختلفين.
النقطتان \(E\) و\(D\) تنتميان إلى \((AEH)\) (فهو مستوي الوجه \(ADHE\))، وتنتميان أيضا إلى \((IFD)=(EFCD)\).
لكن \(F\in(IFD)\) و\(F\notin(AEH)\)، إذن المستويان مختلفان.
✓ المستويان \((IFD)\) و\((AEH)\) متقاطعان وفق المستقيم \((ED)\).
⚠️ اشتراكهما في نقطتين \(E\) و\(D\) يحدّد مستقيم التقاطع \((ED)\)، ولا يعني أنهما منطبقان لأن \(F\) في أحدهما دون الآخر.
السؤال 8: لتكن \(O\) مركز المستطيل \(BDHF\). أحسب \(OI\).
نظرية المنتصفات: القطعة الواصلة بين منتصفي ضلعين في مثلث توازي الضلع الثالث ويساوي طولها نصف طوله.
\(O\) مركز المستطيل \(BDHF\) فهو منتصف قطره \([DF]\)، و\(I\) منتصف \([EF]\).
في المثلث \(DEF\)، \([OI]\) قطعة المنتصفات، إذن \((OI)//(DE)\) و\(OI=\dfrac{DE}{2}\). و\(DE\) قطر المربع \(ADHE\): \(DE=2\sqrt{3}\times\sqrt{2}=2\sqrt{6}\).
✓ \(OI=\dfrac{2\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\).
⚠️ \(O\) منتصف القطر \([DF]\) وليس منتصف حرف؛ فطبّق قطعة المنتصفات في المثلث \(DEF\) لا في وجه من المكعب.
السؤال 9: بيّن أن \((OI)//(AEH)\).
إذا كان مستقيم يوازي مستقيما محمولا على مستوٍ ولا ينتمي إليه فهو يوازي هذا المستوي.
من السؤال 8، \((OI)//(DE)\) (قطعة المنتصفات توازي الضلع الثالث).
والمستقيم \((DE)\) محمول على المستوي \((AEH)\) لأن \(D\) و\(E\) ينتميان إليه؛ كما أن \(O\) (مركز المكعب) لا ينتمي إلى \((AEH)\).
✓ إذن \((OI)//(AEH)\).
⚠️ لا يكفي أن \((OI)//(DE)\)؛ يجب أيضا التأكد أن \((OI)\) لا ينتمي إلى المستوي \((AEH)\) حتى يكون التوازي مع المستوي صحيحا.