\(ABCDEFGH\) متوازي مستطيلات بحيث \(AB=12\,cm\) و\(AD=AE=6\,cm\).
1. أحسب حجم متوازي المستطيلات \(ABCDEFGH\).
2. أنشئ النقطتين \(I\) و\(J\) من \([AB]\) بحيث \(AI=\dfrac{IB}{2}=JB\).
3. أحسب \(AI\) ثم بيّن أن \(J\) منتصف \([IB]\).
4. بيّن أن \((AD)\) و\((EI)\) ليسا في نفس المستوي.
5. بيّن أن المستويين \((IEG)\) و\((ADC)\) متقاطعان ثم حدّد تقاطعهما.
6. بيّن أن \((IJ)//(EFG)\).
7. لتكن \(K\) منتصف \([IG]\).
أ. بيّن أن \((IJ)//(CDH)\).
ب. بيّن أن \((JK)//(BG)\) ثم أحسب \(JK\).
ت. أحسب \(EI\) ثم أوجد حصراً لمحيط المثلث \(AEI\) علماً أن \(3<\sqrt{13}<4\).
ث. بيّن أن \((EG)//(ADC)\).
8. أحسب حجم الهرم \(BCDH\).
السؤال 1: أحسب حجم متوازي المستطيلات \(ABCDEFGH\).
حجم متوازي المستطيلات يساوي جداء أبعاده الثلاثة: \(V=\text{الطول}\times\text{العرض}\times\text{الارتفاع}\).
\(V = AB\times AD\times AE = 12\times 6\times 6\).
✓ \(V = 432\,cm^3\).
⚠️ لا تخلط بين الحجم والمساحة: الحجم يستعمل الأبعاد الثلاثة معاً (\(12\) و\(6\) و\(6\)) وليس بُعدين فقط.
السؤال 2: أنشئ النقطتين \(I\) و\(J\) من \([AB]\) بحيث \(AI=\dfrac{IB}{2}=JB\).
بما أن \(AI+IB=AB\) و\(AI=\dfrac{IB}{2}\) نحلّ معادلة لتحديد موضع \(I\).
نضع \(AI=x\) إذن \(IB=12-x\)، والشرط \(x=\dfrac{12-x}{2}\) يعطي \(2x=12-x\) أي \(3x=12\).
إذن \(AI=4\,cm\)، و\(JB=AI=4\,cm\): تُنشأ \(I\) على بُعد \(4\,cm\) من \(A\) و\(J\) على بُعد \(4\,cm\) من \(B\) (أي \(AJ=8\,cm\)).
✓ \(AI=4\,cm\) و\(JB=4\,cm\).
⚠️ لا تأخذ \(AI\) نصفَ \(AB\): الشرط هو \(AI=\dfrac{IB}{2}\) وليس \(AI=\dfrac{AB}{2}\).
السؤال 3: أحسب \(AI\) ثم بيّن أن \(J\) منتصف \([IB]\).
\(J\) منتصف \([IB]\) إذا كانت \(J\in[IB]\) و\(IJ=JB\).
من السؤال 2: \(AI=4\) و\(AJ=8\) و\(AB=12\).
\(IJ=AJ-AI=8-4=4\,cm\) و\(JB=AB-AJ=12-8=4\,cm\)، والنقطة \(J\) بين \(I\) و\(B\).
✓ بما أن \(IJ=JB=4\,cm\) و\(J\in[IB]\) فإن \(J\) منتصف \([IB]\).
⚠️ التحقّق من الانتماء \(J\in[IB]\) ضروري: لا يكفي تساوي الطولين حتى تكون \(J\) بين \(I\) و\(B\).
السؤال 4: بيّن أن \((AD)\) و\((EI)\) ليسا في نفس المستوي.
مستقيمان يكونان في مستوٍ واحد إذا كانا متوازيين أو متقاطعين؛ وإلا فهما ليسا في نفس المستوي.
نفترض أن \((AD)\) و\((EI)\) في مستوٍ واحد \(\mathcal{P}\)؛ عندئذ \(A\) و\(D\) و\(I\) تنتمي إلى \(\mathcal{P}\). لكن \(A\) و\(I\) على \((AB)\) و\(D\) خارجها، إذن \(\mathcal{P}=(ABCD)\).
يلزم إذن أن تنتمي \(E\) إلى \((ABCD)\)، وهذا مستحيل لأن \((AE)\) عمودي على \((ABCD)\) فـ \(E\) خارج مستوى القاعدة.
✓ إذن \((AD)\) و\((EI)\) ليسا في نفس المستوي.
⚠️ في الفضاء لا يكفي عدم التقاطع لاستنتاج التوازي: قد يكون المستقيمان غيرَ متوازيين وغيرَ متقاطعين.
السؤال 5: بيّن أن المستويين \((IEG)\) و\((ADC)\) متقاطعان ثم حدّد تقاطعهما.
إذا احتوى مستويان متقاطعان مستقيمين متوازيين فإن مستقيم تقاطعهما يوازي هذين المستقيمين.
النقطة \(I\) مشتركة: \(I\in(ADC)\) لأنها على \((AB)\) في مستوى القاعدة، و\(I\in(IEG)\). والمستويان مختلفان لأن \(E\notin(ADC)\)، إذن هما متقاطعان وفق مستقيم يمرّ بـ \(I\).
\((EG)\subset(IEG)\) و\((AC)\subset(ADC)\)، و\((EG)//(AC)\) لأن \(E\) و\(G\) فوق \(A\) و\(C\) مباشرة (الوجهان \(ABCD\) و\(EFGH\) متطابقان ومتوازيان).
✓ تقاطع المستويين هو المستقيم المارّ بـ \(I\) والموازي لـ \((AC)\) (ولـ \((EG)\)).
⚠️ التقاطع مستقيمٌ كامل وليس النقطة \(I\) وحدها؛ ولتحديد اتجاهه نستعمل توازي \((EG)\) و\((AC)\).
السؤال 6: بيّن أن \((IJ)//(EFG)\).
إذا وازى مستقيمٌ مستقيماً محتوىً في مستوٍ ولم يكن هو نفسُه في هذا المستوي، فإنه يوازي المستوي.
\((IJ)\subset(AB)\) و\((EF)//(AB)\) لأن \(ABFE\) مستطيل، إذن \((IJ)//(EF)\).
و\((EF)\subset(EFG)\) بينما \((IJ)\not\subset(EFG)\) (لأن \(I,J\) في القاعدة و\((EFG)\) هو الوجه العلوي).
✓ إذن \((IJ)//(EFG)\).
⚠️ يجب التأكّد أن \((IJ)\) ليست محتواة في \((EFG)\): توازي مستقيمٍ ومستوٍ يقتضي ألا يقطعه ولا يكون فيه.
السؤال 7: لتكن \(K\) منتصف \([IG]\). أ) \((IJ)//(CDH)\)؛ ب) \((JK)//(BG)\) وحساب \(JK\)؛ ت) حساب \(EI\) وحصر محيط \(AEI\)؛ ث) \((EG)//(ADC)\).
أ) مستقيم يوازي مستقيماً من مستوٍ (دون أن يكون فيه) فهو يوازي المستوي.
\((IJ)\subset(AB)\) و\((DC)//(AB)\) إذن \((IJ)//(DC)\)، و\((DC)\subset(CDH)\) و\((IJ)\not\subset(CDH)\).
✓ \((IJ)//(CDH)\).
ب) قضية المنتصفين (خط المتوسط): المستقيم المارّ بمنتصفَي ضلعين من مثلث يوازي الضلع الثالث ويساوي نصفه.
في المثلث \(IBG\): \(J\) منتصف \([IB]\) (سؤال 3) و\(K\) منتصف \([IG]\)، إذن \((JK)//(BG)\) و\(JK=\dfrac{1}{2}BG\).
في المثلث \(BFG\) القائم في \(F\): \(BG=\sqrt{BF^2+FG^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}\)، إذن \(JK=3\sqrt{2}\,cm\).
✓ \((JK)//(BG)\) و\(JK=3\sqrt{2}\,cm\).
ت) نظرية فيثاغورس في المثلث \(AEI\) القائم الزاوية في \(A\) (لأن \((AE)\perp(AB)\)).
\(EI^2=AE^2+AI^2=6^2+4^2=36+16=52\) إذن \(EI=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\,cm\).
محيط المثلث: \(P=AE+AI+EI=6+4+2\sqrt{13}=10+2\sqrt{13}\). وبما أن \(3<\sqrt{13}<4\) فإن \(6<2\sqrt{13}<8\).
✓ \(EI=2\sqrt{13}\,cm\) و\(16
ث) مستقيم يوازي مستقيماً من مستوٍ (دون أن يكون فيه) فهو يوازي المستوي.
\((EG)//(AC)\) لأن \(E,G\) فوق \(A,C\)، و\((AC)\subset(ADC)\) و\((EG)\not\subset(ADC)\) (لأن \((EG)\) في الوجه العلوي).
✓ \((EG)//(ADC)\).
⚠️ في «قضية المنتصفين» يجب أن تكون \(J\) و\(K\) منتصفَي ضلعين للمثلث \(IBG\) نفسِه؛ ولا تنسَ أن \(EI=\sqrt{52}=2\sqrt{13}\) وليس \(\sqrt{13}\).
السؤال 8: أحسب حجم الهرم \(BCDH\).
حجم الهرم \(=\dfrac{1}{3}\times\)(مساحة القاعدة)\(\times\)(الارتفاع).
القاعدة \(BCD\) مثلث قائم في \(C\): \(CB=6\,cm\) و\(CD=12\,cm\)، فمساحته \(\dfrac{CB\times CD}{2}=\dfrac{6\times 12}{2}=36\,cm^2\).
الارتفاع هو \(DH\) لأن \((DH)\perp(ABCD)\) و\(D\) قدمه في القاعدة، و\(DH=AE=6\,cm\). إذن \(V=\dfrac{1}{3}\times 36\times 6\).
✓ \(V=72\,cm^3\).
⚠️ ارتفاع الهرم من الرأس \(H\) هو \((DH)\) العمودي على مستوى القاعدة، وليس ضلعاً مائلاً مثل \((BH)\) أو \((CH)\).