صواب أم خطأ — هندسة الفضاء

نقطة واحدة مشتركة لا تكفي. المستقيم قد يقطع المستوى في تلك النقطة فقط. يجب أن يكون للمستقيم نقطتان مختلفتان في المستوى ليكون محتوًى فيه.

هذه هي الخاصية الأساسية: إذا كان \(A \in D\) و\(A \in P\) و\(B \in D\) و\(B \in P\) حيث \(A \neq B\) فإن \(D \subset P\).

نقطة مشتركة واحدة \(A\) لا تكفي للاحتواء. قد يكون \(D\) قاطعاً للمستوى \(P\) في \(A\) فقط. نحتاج نقطة ثانية مختلفة.

نعم، يمكن دائماً إيجاد مستوى يحتوي أي مستقيم. في الواقع يمر بكل مستقيم عدد لانهائي من المستويات.

هذا صحيح في الهندسة المستوية فقط! في الفضاء، مستقيمان قد يكونان غير مستويَين (متخالفَين): لا يتقاطعان ولا يتوازيان ولا يوجد مستوى يحتويهما معاً.

في المستوى، مستقيمان إما متوازيان (لا يشتركان في أي نقطة) أو متقاطعان (يشتركان في نقطة واحدة). الحالة الثالثة (غير مستويَين) مستحيلة لأنهما أصلاً في نفس المستوى.

تعريف التوازي: مستقيمان في نفس المستوى ولا يتقاطعان. إذن لا يشتركان في أي نقطة.

مستقيمان ليسا في نفس المستوي لا يتقاطعان ولا يتوازيان. التعريف يقول: غير متوازيَين وغير متقاطعَين ولا يوجد مستوى يحتويهما معاً.

المستقيمان المتوازيان في نفس المستوى بالتعريف. يوجد مستوى واحد يحتوي كلا المستقيمَين المتوازيَين.

تعريف توازي مستقيم لمستوى: \(D \parallel P\) يعني \(D \cap P = \emptyset\) (لا توجد نقاط مشتركة). إذا كانت هناك نقطة مشتركة فإن المستقيم يقطع المستوى.

القطع يعني نقطة مشتركة واحدة فقط. الاحتواء يعني أن كل نقاط المستقيم في المستوى. هذان مفهومان مختلفان تماماً.

العبارة ناقصة! الشرط الصحيح: مستقيم \(D'\) موازٍ لمستقيم \(D \subset P\) يكون موازياً لـ\(P\) فقط إذا كان \(D'\) غير محتوٍ في \(P\). إذا كان \(D' \subset P\) فهو في المستوى وليس موازياً له.

هذه هي الخاصية الأساسية: إذا قطع مستوى \(Q\) (يحتوي \(D\)) المستوى \(P\) المتوازي مع \(D\)، فإن مستقيم التقاطع \(\Delta = Q \cap P\) يوازي \(D\).

تعريف التوازي بين مستويَين: مستويان غير متقاطعَين أي \(P \cap Q = \emptyset\). لا توجد أي نقطة مشتركة بينهما.

تقاطع مستويَين مستقيم وليس نقطة! إذا اشترك مستويان في نقطة واحدة وكانا غير منطبقَين فإن تقاطعهما مستقيم كامل يمر من تلك النقطة.

إذا اشترك مستويان غير منطبقَين في نقطة فهما متقاطعان وفق مستقيم يمر من تلك النقطة. هذا المستقيم هو مجموعة كل النقاط المشتركة بين المستويَين.

مستقيم في \(P\) يوازي المستوى \(Q\) بأكمله، لكن ليس بالضرورة كل مستقيم في \(Q\). مثال: \((AB) \subset P\) و\((CD) \subset Q\) قد لا يكونان متوازيَين إذا كان اتجاههما مختلفاً.

نعم، إذا \(P \parallel Q\) فكل مستقيم محتوٍ في \(P\) يوازي \(Q\) (لأنه لا يتقاطع مع \(Q\) طالما \(P\) و\(Q\) لا يشتركان في أي نقطة).

هذه من أهم خواص الفضاء. إذا \(P \parallel Q\) و\(R\) يقطع \(P\) في \(\Delta_1\) ويقطع \(Q\) في \(\Delta_2\) فإن \(\Delta_1 \parallel \Delta_2\).

نعم، إذا \(P \cap Q = \Delta\) (مستقيم) و\(R\) يقطع \(P\) في \(\Delta_1\) ويقطع \(Q\) في \(\Delta_2\) فإن \(\Delta_1\) و\(\Delta_2\) يتقاطعان في النقطة \(\Delta \cap R\).

مستقيم محتوٍ في مستوى يوازي مستوى آخر → المستقيم يوازي ذلك المستوى أيضاً. الدليل: لو قطع \((AB)\) المستوى \(Q\) في نقطة \(M\) فإن \(M \in P\) (لأن \((AB) \subset P\)) وهذا يتناقض مع \(P \parallel Q\).