تمرين 10 — هرم \(SABC\) ومستوى \(P\) موازٍ لـ\((ABC)\)

هندسة الفضاء — السنة الثامنة — التوازي في الفضاء
نص التمرين:
ليكن \(SABC\) هرماً ثلاثياً قمته \(S\) ومستوى \(P\) موازياً للمستوى \((ABC)\). قطع المستقيم \(P\) الأحرف \([SA]\) و\([SB]\) و\([SC]\) على التوالي في \(M\) و\(N\) و\(P_0\). أنجز رسماً لذلك وبيّن أن \((MN) \parallel (AB)\)، \((NP_0) \parallel (BC)\)، \((MP_0) \parallel (AC)\).
أنجز رسماً للهرم مع المستوى \(P\) والنقاط \(M, N, P_0\).
📐 الخاصية: رسم الهرم \(SABC\) مع مستوى قطع موازٍ للقاعدة.
1 ارسم الهرم \(SABC\) بأحرافه الظاهرة والخفية.
2 ارسم المستوى \(P\) موازياً لـ\((ABC)\) ويقطع الأحرف الجانبية.
3 حدد \(M\) على \([SA]\)، \(N\) على \([SB]\)، \(P_0\) على \([SC]\).
✓ الرسم جاهز مع المثلث \(MNP_0\) موازياً للقاعدة \(ABC\).
⚠️ خطأ شائع: \(M, N, P_0\) يجب أن تكون في نفس المستوى \(P\).
بيّن أن \((MN) \parallel (AB)\).
📐 الخاصية: الخاصية: إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين، كانت مستقيما التقاطع متوازيَين.
1 \(P \parallel (ABC)\) (معطى).
2 المستوى \((SAB)\) يقطع \(P\) في \((MN)\) لأن \(M \in [SA] \subset (SAB)\) و\(N \in [SB] \subset (SAB)\).
3 \((SAB)\) يقطع \((ABC)\) في \((AB)\) لأن \(A, B \in (ABC)\) و\(A, B \in (SAB)\).
4 \((SAB)\) يقطع المستويَين المتوازيَين \(P\) و\((ABC)\) في \((MN)\) و\((AB)\) → \((MN) \parallel (AB)\).
✓ \((MN) \parallel (AB)\)
⚠️ خطأ شائع: يجب تسمية المستوى القاطع \((SAB)\) صراحةً.
بيّن أن \((NP_0) \parallel (BC)\).
📐 الخاصية: نفس الخاصية مع المستوى \((SBC)\).
1 \(N \in [SB] \subset (SBC)\) و\(P_0 \in [SC] \subset (SBC)\) → \((SBC)\) يقطع \(P\) في \((NP_0)\).
2 \((SBC)\) يقطع \((ABC)\) في \((BC)\).
3 \((SBC)\) يقطع \(P \parallel (ABC)\) → \((NP_0) \parallel (BC)\).
✓ \((NP_0) \parallel (BC)\)
⚠️ خطأ شائع: المستوى القاطع هنا هو \((SBC)\) وليس \((SAB)\).
بيّن أن \((MP_0) \parallel (AC)\).
📐 الخاصية: نفس الخاصية مع المستوى \((SAC)\).
1 \(M \in [SA] \subset (SAC)\) و\(P_0 \in [SC] \subset (SAC)\) → \((SAC)\) يقطع \(P\) في \((MP_0)\).
2 \((SAC)\) يقطع \((ABC)\) في \((AC)\).
3 \((SAC)\) يقطع \(P \parallel (ABC)\) → \((MP_0) \parallel (AC)\).
✓ \((MP_0) \parallel (AC)\)
⚠️ خطأ شائع: ثلاث تطبيقات لنفس الخاصية مع ثلاثة مستويات جانبية مختلفة.
انقر على نقطة لمعرفة خصائصها. افتح سؤالاً لإبراز عناصره.

خلاصة الخواص الأساسية

1) مستوى محدد بنقطتَين

إذا كانت لمستقيم نقطتان مشتركتان مع مستوى فهو محتوٍ فيه.
⚠️ نقطة مشتركة واحدة فقط تعني قطعا وليس احتواءً.

2) مستويان متقاطعان

نقطة مشتركة + غير منطبقَين → تقاطعهما مستقيم.
⚠️ لا تنسَ إثبات عدم الانطباق.

3) مستوى قاطع لمستويَين متوازيَين

إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين → خطا التقاطع متوازيان.
⚠️ سمّ المستويَين المتوازيَين صراحةً.

4) مستقيم موازٍ لمستوى

مستقيم يوازي مستقيماً محتوًى في مستوى + غير محتوٍ فيه → موازٍ للمستوى.
⚠️ التوازي مع مستقيم واحد فقط لا يكفي — يجب إثبات عدم الاحتواء.