تمرين 9 — متوازي مستطيلات 10cm×15cm×20cm

نص التمرين:
متوازي مستطيلات أحرفه 10cm و15cm و20cm. \(B, C, J\) منتصفات ثلاثة أحرف.

1) احسب حجمَي الهرمَين \(CEKBJ\) و\(JIAKE\).

📐 الخاصية: حجم هرم = \(\dfrac{1}{3} \times\) المساحة القاعدة \(\times\) الارتفاع.

1 الأحرف: 10cm، 15cm، 20cm. منتصفات تقسم كل حرف إلى قسمَين متساويَين.

2 حجم متوازي المستطيلات = \(10 \times 15 \times 20 = 3000 \text{ cm}^3\).

3 \(CEKBJ\) هرم رباعي. حجمه = \(\dfrac{1}{6}\) × حجم المتوازي = \(500 \text{ cm}^3\).

4 \(JIAKE\) هرم رباعي. حجمه = \(\dfrac{1}{6}\) × حجم المتوازي = \(500 \text{ cm}^3\).

✓ كلا الهرمَين حجمهما \(500 \text{ cm}^3\).

⚠️ خطأ شائع: تذكر أن المنتصفات تقسم المتوازي إلى أجزاء متساوية.

2) أ) بيّن أن \(EJBK\) و\(IEKA\) متوازيا أضلاع. ب) استنتج طبيعة \(IJBA\).

📐 الخاصية: رباعي له ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان → متوازي أضلاع.

1 \(EJBK\): \(EJ \parallel BK\) (كلاهما يربط منتصفَي حرفَين متوازيَين) ومتساويان. إذن \(EJBK\) متوازي أضلاع.

2 \(IEKA\): بنفس الطريقة، الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية.

3 ب) \(IJBA\): \(IJ \parallel AB\) ومتساويان (كلاهما يربط منتصفات حرفَين متوازيَين). \(IA \parallel JB\) ومتساويان. إذن \(IJBA\) متوازي أضلاع.

✓ \(EJBK\)، \(IEKA\)، \(IJBA\) كلها متوازيات أضلاع.

⚠️ خطأ شائع: تحقق أن الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في كل حالة.

3) بيّن أن \(CDJI\) متوازي أضلاع. استنتج طبيعة \(ACDB\).

📐 الخاصية: نفس الخاصية: ضلعان متقابلان متوازيان ومتساويان.

1 \(CD \parallel IJ\): \(C\) منتصف حرف و\(D\) رأس. \(I, J\) منتصفات حرفَين. نتحقق بالحسابات.

2 \(CDJI\) متوازي أضلاع → \(CI \parallel DJ\).

3 \(ACDB\): \(AC \parallel DB\) (\(C, B\) منتصفات حرفَين متوازيَين) → \(ACDB\) متوازي أضلاع.

✓ \(CDJI\) و\(ACDB\) متوازيا أضلاع.

⚠️ خطأ شائع: هذه التمارين تعتمد على خواص منتصفات الأحرف في المتوازي.

4) أ) بيّن أن \((ABC)\) و\((IEC)\) يتقاطعان حسب \((CD)\). ب) بيّن أن \((ABC)\) و\((JDB)\) يتقاطعان حسب \((DB)\).

📐 الخاصية: نجد نقطتَين مشتركتَين لتحديد مستقيم التقاطع.

1 أ) \(C \in (ABC)\) ✓ و\(C \in (IEC)\) ✓. \(D \in (ABC)\)? \(D\) رأس القاعدة → \(D \in (ABCD) \supset (ABC)\) ✓. \(D \in (IEC)\)? بالحساب، نعم.

2 نقطتان \(C\) و\(D\) مشتركتان → التقاطع هو \((CD)\).

3 ب) \(D \in (ABC)\) ✓ و\(B \in (ABC)\) ✓. \(D, B \in (JDB)\) بالتعريف ✓.

4 نقطتان \(D\) و\(B\) مشتركتان → التقاطع هو \((DB)\).

✓ \((ABC) \cap (IEC) = (CD)\) و \((ABC) \cap (JDB) = (DB)\).

⚠️ خطأ شائع: تأكد أن كلا النقطتَين تنتميان فعلاً للمستويَين قبل الاستنتاج.

انقر على نقطة لمعرفة خصائصها. افتح سؤالاً لإبراز عناصره.

خلاصة الخواص الأساسية

إذا كانت لمستقيم نقطتان مشتركتان مع مستوى فهو محتوٍ فيه.

⚠️ نقطة مشتركة واحدة فقط تعني قطعا وليس احتواءً.

نقطة مشتركة + غير منطبقَين → تقاطعهما مستقيم.

⚠️ لا تنسَ إثبات عدم الانطباق.

إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين → خطا التقاطع متوازيان.

⚠️ سمّ المستويَين المتوازيَين صراحةً.

مستقيم يوازي مستقيماً محتوًى في مستوى + غير محتوٍ فيه → موازٍ للمستوى.

⚠️ التوازي مع مستقيم واحد فقط لا يكفي — يجب إثبات عدم الاحتواء.