تمرين 8 — مكعب \(ABCDEFGH\)، \(I, J, K\) على \([AB], [BC], [AD]\)

1 ارسم المكعب \(ABCDEFGH\) بالأحرف الظاهرة والخفية (منقطة).

2 حدد \(I\) على \([AB]\): نقطة بين \(A\) و\(B\).

3 حدد \(J\) على \([BC]\): نقطة بين \(B\) و\(C\).

4 حدد \(K\) على \([AD]\): نقطة بين \(A\) و\(D\).

1 \(B \in (ABF)\) ✓ و\(B \in (BCG)\) ✓.

2 \(F \in (ABF)\) ✓. هل \(F \in (BCG)\)؟ \((BCG)\) يضم \(B,C,G\). \(F\) ليس أحدهم. لكن \(BF\) حرف المكعب. \(F \in (BCGF)\) وهل \(F \in (BCG)\)؟ \((BCG)\) مستوى المثلث — \(F\) على \((BCGF)\) لكن هل على \((BCG)\) بالضبط؟ نعم: \(F, B, C, G\) كلها في مستوى \((BCGF)\) لذا \((BCG) = (BCGF)\). إذن \(F \in (BCG)\).

3 \(B\) و\(F\) نقطتان مشتركتان → التقاطع هو \((BF)\).

1 \(J \in [BC] \subset (BCGF)\) و\(G \in (BCGF)\) → \((JG) \subset (BCGF)\).

2 \((BF) \subset (BCGF)\) أيضاً. كلاهما في \((BCGF)\).

3 اتجاه \((JG)\): من \(J \in [BC]\) إلى \(G\) — مائل. اتجاه \((BF)\): رأسي. غير متوازيَين → يتقاطعان في \(O\).

4 من 2): \((ABF) \cap (BCG) = (BF)\). \(O \in (JG)\) و\(O \in (BF) \subset (ABF)\) → \(O \in (ABF)\).

5 \((JG)\) يقطع \((BF)\) في \(O\) → \((JG)\) يقطع \((ABF)\) في \(O\).

1 \((EK)\) و\((IJ)\): \(E \in (AEF)\)? \(K \in [AD]\), \(I \in [AB]\), \(J \in [BC]\). \((EK) \subset (ADHE)\) و\((IJ) \subset (ABCD)\). مستويان مختلفان → ليسا في نفس المستوى.

2 \((KI)\) و\((GJ)\): \(K \in [AD]\), \(I \in [AB]\) → \((KI) \subset (ABCD)\). \(G\), \(J \in [BC]\) → \((GJ) \subset (BCGF)\). مستويان مختلفان → ليسا في نفس المستوى.

3 \((HJ)\) و\((DI)\): \(H \in\) سقف، \(J \in [BC]\) قاعدة. \(D, I \in\) قاعدة. يمكن التحقق أنهما ليسا في نفس المستوى.

1 \(H \in (GKH)\) ✓ و\(H \in (AEH)\) ✓ — نقطة مشتركة.

2 هل هما منطبقان؟ \(G \in (GKH)\). هل \(G \in (AEH)\)؟ \((AEH)\) يضم \(A,E,H\). \(G\) رأس آخر — ليس في هذا المستوى بالضرورة. إذن غير منطبقَين.

3 نقطة مشتركة \(H\) + غير منطبقَين → متقاطعان.