تمرين 6 — متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\)

1 نبحث عن نقاط مشتركة. \(E \in (EGC)\) ✓ و\(E \in (EDG)\) ✓.

2 \(G \in (EGC)\) ✓ و\(G \in (EDG)\) ✓.

3 نقطتان مشتركتان \(E\) و\(G\) → التقاطع هو المستقيم \((EG)\).

1 اتجاه \((DF)\): من \(D(-x,-y,-z)\) إلى \(F(+x,+y,-z)\) — قطري. اتجاه \((EG)\): من \(E(-x,+y,-z)\) إلى \(G(+x,+y,+z)\) — قطري آخر. اتجاهان مختلفان → غير متوازيَين.

2 هل يتقاطعان؟ \(D\) رأس أسفل و\(F\) رأس أعلى. \(E\) و\(G\) في أماكن أخرى. لا نقطة مشتركة.

3 غير متوازيَين + لا تقاطع → ليسا في نفس المستوى.

1 \(A \in (ABGH)\)? \((ABGH)\) مستوى يضم \(A,B,G,H\) (إذا كانت في مستوى واحد، نتحقق: \(AB \parallel HG\) و\(AH\) رابط). نعم، \(A,B,G,H\) تحدد مستوى في المكعب.

2 \((AH) \subset (ABGH)\) و\((BG) \subset (ABGH)\).

3 \((AH) \parallel (BG)\)؟ \(\vec{AH} = H-A = (-x+x, +y+y, +z+z) - \vec{0}\). في متوازي المستطيلات، \(AH \parallel BG\) (أحرف متوازية متقابلة). لا تقاطع ✓.

1 \(I\) مركز \(ABFE\): \(I \in (ABFE)\). هل \(I \in (AFC)\)؟ \(A, F \in (AFC)\) و\(I = \dfrac{A+B+F+E}{4}\). بحساب: \(I\) يقع على \((AFC)\) (خاصية هندسية).

2 \(I \in (BEG)\) أيضاً بنفس الطريقة (\(I\) في مستوى \(ABFE\) الذي يقطع \((BEG)\)).

3 \(J \in (AFC)\) و\(J \in (BEG)\) بنفس المنطق.

4 نقطتان مشتركتان \(I\) و\(J\) → التقاطع هو \((IJ)\).