تمرين 4 — مكعب \(ABCDEFGH\)، \(M\) من \([BC]\)، \(N\) من \([CG]\)

هندسة الفضاء — السنة الثامنة — التوازي في الفضاء
نص التمرين:
ارسم الشكل حيث \(ABCDEFGH\) مكعب و\(M\) نقطة من \([BC]\) و\(N\) نقطة من \([CG]\).
أ) وضعية \((AM)\) والمستوى \((ADE)\)؟
📐 الخاصية: نبحث عن نقطة مشتركة ونتحقق من عدم الاحتواء.
1 \(A \in (AM)\) و\(A \in (ADE)\) ✓ — نقطة مشتركة \(A\).
2 \(M \in [BC]\). هل \(M \in (ADE)\)؟ \(B \notin (ADE)\) (الوجه \((ADE)\) يضم \(A,D,E\) لا \(B\)) → \(M \notin (ADE)\).
3 نقطة مشتركة + \((AM)\) غير محتوٍ → \((AM)\) يقطع \((ADE)\) في \(A\).
✓ \((AM)\) يقطع المستوى \((ADE)\) في \(A\).
⚠️ خطأ شائع: لا تقل موازٍ — فهما يشتركان في \(A\)!
ب) وضعية المستويَين \((ADE)\) و\((BCF)\)؟
📐 الخاصية: وجهان متقابلان في متوازي المستطيلات → متوازيان.
1 \((ADE)\) و\((BCF)\) وجهان متقابلان في المكعب.
2 \(AB \parallel DC\) و\(AE \parallel BF\) في المكعب → المستويان يحملان نفس الاتجاه.
✓ \((ADE) \parallel (BCF)\)
⚠️ خطأ شائع: تحقق أن \(D\) و\(E\) و\(F\) في النقاط الصحيحة في المكعب.
ج) وضعية \((AM)\) والمستوى \((BCF)\)؟
📐 الخاصية: من أ و ب: \((AM)\) يقطع أحد مستويَين متوازيَين.
1 من ب: \((ADE) \parallel (BCF)\). من أ: \((AM)\) يقطع \((ADE)\).
2 مستقيم يقطع أحد مستويَين متوازيَين → يقطع الآخر.
3 \(M \in [BC] \subset (BCF)\) → \((AM)\) يقطع \((BCF)\) في \(M\).
✓ \((AM)\) يقطع المستوى \((BCF)\) في \(M\).
⚠️ خطأ شائع: النقطة \(M\) مباشرة على \((BCF)\) لأنها على \([BC]\).
د) \((FM)\) و\((CG)\) محتويان في نفس المستوى.
📐 الخاصية: نبحث عن مستوى يضم النقاط الأربع \(F,M,C,G\).
1 \(F \in (BCGF)\) ✓ — \(M \in [BC] \subset (BCGF)\) ✓ — \(C \in (BCGF)\) ✓ — \(G \in (BCGF)\) ✓.
2 الأربعة في مستوى الوجه \((BCGF)\) → \((FM) \subset (BCGF)\) و\((CG) \subset (BCGF)\).
✓ \((FM)\) و\((CG)\) محتويان في \((BCGF)\).
⚠️ خطأ شائع: هذا لا يحدد وضعيتهما النسبية — ستُحدد في هـ.
هـ) \((FM)\) و\((CG)\) يتقاطعان في \(I\). ارسم \(I\).
📐 الخاصية: مستقيمان في نفس المستوى غير متوازيَين → متقاطعان.
1 من د: كلاهما في \((BCGF)\). اتجاه \((FM)\): من \(F\) (أعلى) نحو \(M \in [BC]\) (أسفل) — مائل. اتجاه \((CG)\): رأسي.
2 اتجاهان مختلفان + في نفس المستوى → يتقاطعان في \(I\).
✓ \(I = (FM) \cap (CG)\) في المستوى \((BCGF)\).
⚠️ خطأ شائع: \(I\) على الحرف \([CG]\) داخل الوجه.
و) عيّن تقاطع \((FM)\) و\((DCG)\).
📐 الخاصية: \(I\) من هـ هي أيضاً تقاطع \((FM)\) مع \((DCG)\).
1 من هـ: \(I \in (CG)\). \((CG) \subset (DCG)\) (لأن \(C, G \in (DCG)\)).
2 إذن \(I \in (DCG)\) و\(I \in (FM)\) → \((FM) \cap (DCG) = I\).
✓ \((FM) \cap (DCG) = I\)
⚠️ خطأ شائع: نفس النقطة \(I\) من هـ — لا حاجة لحساب جديد.
ز) بيّن أن \((BN)\) يقطع \((EFG)\). عيّن \(J\).
📐 الخاصية: نجد مستقيماً في \((EFG)\) يتقاطع مع \((BN)\).
1 \(B \in (BCGF)\) ✓ و\(N \in [CG] \subset (BCGF)\) ✓ → \((BN) \subset (BCGF)\).
2 \((BCGF) \cap (EFG) = (FG)\). \((BN)\) و\((FG)\) في \((BCGF)\) — غير متوازيَين → يتقاطعان في \(J\).
3 \(J \in (FG) \subset (EFG)\) → \(J\) نقطة تقاطع \((BN)\) مع \((EFG)\).
✓ \(J = (BN) \cap (EFG)\) على \([FG]\).
⚠️ خطأ شائع: \(J\) على \([FG]\) وليس على \([EF]\) أو \([EG]\).
انقر على نقطة لمعرفة خصائصها. افتح سؤالاً لإبراز عناصره.

خلاصة الخواص الأساسية

1) مستوى محدد بنقطتَين

إذا كانت لمستقيم نقطتان مشتركتان مع مستوى فهو محتوٍ فيه.
⚠️ نقطة مشتركة واحدة فقط تعني قطعا وليس احتواءً.

2) مستويان متقاطعان

نقطة مشتركة + غير منطبقَين → تقاطعهما مستقيم.
⚠️ لا تنسَ إثبات عدم الانطباق.

3) مستوى قاطع لمستويَين متوازيَين

إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين → خطا التقاطع متوازيان.
⚠️ سمّ المستويَين المتوازيَين صراحةً.

4) مستقيم موازٍ لمستوى

مستقيم يوازي مستقيماً محتوًى في مستوى + غير محتوٍ فيه → موازٍ للمستوى.
⚠️ التوازي مع مستقيم واحد فقط لا يكفي — يجب إثبات عدم الاحتواء.