التمرين 8 — متوازي مستطيلات بأبعاد معطاة

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\) حيث \(AB=3cm\), \(AD=4cm\), \(AE=3cm\). النقطة \(S\) مركز الوجه \(EFGH\)، و\(M\) على \([AE]\).
1) أكمل: (CF) ... (BCG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (CF) ... (BCG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: C وF تنتميان إلى الوجه (BCG)، لذلك (CF) محتوى في هذا المستوى.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (CF) ... (BCG).
✓ (CF) ... (BCG) يعطي الرمز الصحيح: \subset.
⚠️ الخطأ: استعمال \(\in\) مع المستقيم.
2) أكمل: (AS) ... (ABF)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (AS) ... (ABF)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: S مركز الوجه EFGH، ولا تنتمي إلى المستوى (ABF)، لذلك (AS) غير محتوى في (ABF).
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \not\subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (AS) ... (ABF).
✓ (AS) ... (ABF) يعطي الرمز الصحيح: \not\subset.
⚠️ الخطأ: اعتبار S رأسا من رؤوس متوازي المستطيلات.
3) أكمل: B ... (DCG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: B ... (DCG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: المستوى (DCG) هو الوجه الخلفي، أما B فهو رأس أمامي، لذلك B لا تنتمي إليه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \notin لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في B ... (DCG).
✓ B ... (DCG) يعطي الرمز الصحيح: \notin.
⚠️ الخطأ: الخلط بين B وC في الرسم المنظوري.
4) أكمل: S ... (AEC)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: S ... (AEC)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: S مركز الوجه العلوي EFGH، ومع أبعاد AB=AE يصبح S واقعا في المستوى القطري (AEC) في هذا النموذج.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \in لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في S ... (AEC).
✓ S ... (AEC) يعطي الرمز الصحيح: \in.
⚠️ الخطأ: الحكم بأن كل مركز وجه خارج كل مستوى قطري.
5) (FM) و (BEF) — FM مع (BEF)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (FM) محدد بالنقطتين F و M، لذلك نبدأ بفحص موضع F و M بالنسبة إلى المستوى (BEF).
الخطوة 2: المستوى (BEF) محدد بالنقاط B, E, F. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (FM).
الخطوة 3: M على [AE]، والمستوى (BEF) يمر بـE وF وB؛ المستقيم (FM) يمر بـF ثم يتجه إلى M على AE، فيقطع (BEF) في F ولا يكون محتوى فيه إلا إذا M=E.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: محتوى أو متقاطع حسب M. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (BEF).
✓ (FM) و (BEF) : محتوى أو متقاطع حسب M.
⚠️ الخطأ: اعتبار وجود F وحدها كافيا للاحتواء.
انقر على نقطة لمعرفة إحداثياتها. افتح سؤالا لإبراز عناصره.

مساعدة — التمرين 8 — متوازي مستطيلات بأبعاد معطاة

1️⃣ نقطة ومستوى

نقطة واحدة مشتركة تكفي لإثبات التقاطع بين مستقيم ومستوى إذا لم يكن المستقيم محتوى فيه.

مثال: إذا كانت \(B \in (SBD)\) و\(B \in (BC)\) فالتقاطع في \(B\).
لا تكتب \(\subset\) مع نقطة.

2️⃣ مستقيم محتوى

إذا كانت نقطتان من المستقيم تنتميان إلى المستوى، فالمستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.

مثال: \(S\) و\(B\) في \((SAB)\) إذن \((SB)\subset(SAB)\).
نقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.

3️⃣ التوازي في الفضاء

مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوى ولا يقطعه يكون موازيا لذلك المستوى.

مثال: \((BC)\parallel(AD)\) و\((AD)\subset(SAD)\).
لا تعتمد على الرسم وحده.

4️⃣ منهجية الحكم

  1. حدد العنصرين بدقة
  2. ابحث عن نقطة مشتركة
  3. افحص الاحتواء بنقطتين
  4. افحص التوازي عبر مستقيم داخل المستوى