التمرين 5 — موشور مثلثي قائم

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل موشورا مثلثيا قائما \(ABCA'B'C'\). النقطة \(M\) على \([A'B']\) و\(H\) على \([AA']\).
1) (AB) و (A'B'C') — حرف ووجه متوازيان؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AB) محدد بالنقطتين A و B، لذلك نبدأ بفحص موضع A و B بالنسبة إلى المستوى (A'B'C').
الخطوة 2: المستوى (A'B'C') محدد بالنقاط A, ', B, ', C, '. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AB).
الخطوة 3: المستقيم (AB) في القاعدة السفلى، والمستوى (A'B'C') هو القاعدة العليا في موشور قائم، والقاعدتان متوازيتان.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: موازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (A'B'C').
✓ (AB) و (A'B'C') : موازيان.
⚠️ الخطأ: اعتبار (AB) قاطعا للوجه العلوي لأن الحواف الجانبية تصل بين القاعدتين.
2) أكمل: (A'B') ... (A'B'C')
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (A'B') ... (A'B'C')، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: النقطتان A' وB' من النقاط المحددة للمستوى (A'B'C')، إذن المستقيم (A'B') محتوى فيه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (A'B') ... (A'B'C').
✓ (A'B') ... (A'B'C') يعطي الرمز الصحيح: \subset.
⚠️ الخطأ: استعمال \(\in\) مع المستقيم (A'B').
3) (AA') و (ABC) — AA' يقطع القاعدة؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AA') محدد بالنقطتين A و A'، لذلك نبدأ بفحص موضع A و A' بالنسبة إلى المستوى (ABC).
الخطوة 2: المستوى (ABC) محدد بالنقاط A, B, C. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AA').
الخطوة 3: النقطة A تنتمي إلى (AA') وتنتمي إلى المستوى (ABC)، أما A' فلا تنتمي إلى (ABC)، إذن التقاطع في A.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان في A. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (ABC).
✓ (AA') و (ABC) : متقاطعان في A.
⚠️ الخطأ: القول إن الحرف الجانبي محتوى في القاعدة.
4) (BC) و (A'B'C') — BC ∥ (A'B'C')؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (BC) محدد بالنقطتين B و C، لذلك نبدأ بفحص موضع B و C بالنسبة إلى المستوى (A'B'C').
الخطوة 2: المستوى (A'B'C') محدد بالنقاط A, ', B, ', C, '. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (BC).
الخطوة 3: المستقيم (BC) يوازي (B'C')، والمستقيم (B'C') محتوى في (A'B'C')، إذن (BC) يوازي المستوى العلوي.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: موازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (A'B'C').
✓ (BC) و (A'B'C') : موازيان.
⚠️ الخطأ: نسيان أن القاعدتين في الموشور القائم متوازيتان.
5) أكمل: M ... (A'B'C')
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: M ... (A'B'C')، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: M على [A'B']، والمستقيم (A'B') محتوى في (A'B'C')، إذن M تنتمي إلى هذا المستوى.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \in لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في M ... (A'B'C').
✓ M ... (A'B'C') يعطي الرمز الصحيح: \in.
⚠️ الخطأ: اعتبار M خارج المستوى لأنها ليست رأسا أصليا.
6) أكمل: H ... (AA'C)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: H ... (AA'C)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: H على [AA']، والمستقيم (AA') محتوى في المستوى (AA'C)، إذن H تنتمي إلى (AA'C).
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \in لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في H ... (AA'C).
✓ H ... (AA'C) يعطي الرمز الصحيح: \in.
⚠️ الخطأ: نسيان أن كل نقطة على مستقيم محتوى في مستوى تنتمي إلى ذلك المستوى.
7) (MH) و (AA'C) — فحص (MH) مع (AA'C)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (MH) محدد بالنقطتين M و H، لذلك نبدأ بفحص موضع M و H بالنسبة إلى المستوى (AA'C).
الخطوة 2: المستوى (AA'C) محدد بالنقاط A, A, ', C. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (MH).
الخطوة 3: النقطة H تنتمي إلى (AA'C)، أما M على [A'B'] ولا تنتمي عادة إلى (AA'C)، لذلك (MH) يقطع (AA'C) في H.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان أو محتوى حسب موضع M. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (AA'C).
✓ (MH) و (AA'C) : متقاطعان أو محتوى حسب موضع M.
⚠️ الخطأ: اعتبار M داخل (AA'C) فقط لأنه على القاعدة العليا.
8) (B'C') و (ABC) — B'C' ∥ (ABC)؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (B'C') محدد بالنقطتين B' و C'، لذلك نبدأ بفحص موضع B' و C' بالنسبة إلى المستوى (ABC).
الخطوة 2: المستوى (ABC) محدد بالنقاط A, B, C. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (B'C').
الخطوة 3: المستقيم (B'C') يوازي (BC)، و(BC) محتوى في المستوى (ABC)، إذن (B'C') يوازي (ABC).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: موازيان. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (ABC).
✓ (B'C') و (ABC) : موازيان.
⚠️ الخطأ: الخلط بين الحرف العلوي والقاعدة السفلى.
انقر على نقطة لمعرفة إحداثياتها. افتح سؤالا لإبراز عناصره.

مساعدة — التمرين 5 — موشور مثلثي قائم

1️⃣ نقطة ومستوى

نقطة واحدة مشتركة تكفي لإثبات التقاطع بين مستقيم ومستوى إذا لم يكن المستقيم محتوى فيه.

مثال: إذا كانت \(B \in (SBD)\) و\(B \in (BC)\) فالتقاطع في \(B\).
لا تكتب \(\subset\) مع نقطة.

2️⃣ مستقيم محتوى

إذا كانت نقطتان من المستقيم تنتميان إلى المستوى، فالمستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.

مثال: \(S\) و\(B\) في \((SAB)\) إذن \((SB)\subset(SAB)\).
نقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.

3️⃣ التوازي في الفضاء

مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوى ولا يقطعه يكون موازيا لذلك المستوى.

مثال: \((BC)\parallel(AD)\) و\((AD)\subset(SAD)\).
لا تعتمد على الرسم وحده.

4️⃣ منهجية الحكم

  1. حدد العنصرين بدقة
  2. ابحث عن نقطة مشتركة
  3. افحص الاحتواء بنقطتين
  4. افحص التوازي عبر مستقيم داخل المستوى