التمرين 3 — الانتماء والاحتواء في متوازي مستطيلات

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل متوازي مستطيلات \(ABCDEFGH\)، و\(O\) مركزه، و\(M\) نقطة من \([BC]\). أكمل بالرمز المناسب.
1) أكمل: (OG) ... (DCG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (OG) ... (DCG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: O وG يقعان على القطر AG، وG وC وD يحددون وجه الخلف؛ في هذا النموذج يظهر (OG) داخل مستوى (DCG) عبر G واتجاه القطر نحو الوجه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (OG) ... (DCG).
✓ (OG) ... (DCG) يعطي الرمز الصحيح: \subset.
⚠️ الخطأ الشائع في (OG) ... (DCG): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
2) أكمل: (MC) ... (BCG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (MC) ... (BCG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: M على [BC] وC من الوجه (BCG)، لذلك المستقيم (MC) هو نفس (BC) أو جزء منه داخل (BCG).
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (MC) ... (BCG).
✓ (MC) ... (BCG) يعطي الرمز الصحيح: \subset.
⚠️ الخطأ الشائع في (MC) ... (BCG): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
3) أكمل: F ... (BC)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: F ... (BC)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: F رأس علوي، بينما (BC) مستقيم في القاعدة بين B وC، فلا تنتمي F إلى (BC).
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \notin لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في F ... (BC).
✓ F ... (BC) يعطي الرمز الصحيح: \notin.
⚠️ الخطأ الشائع في F ... (BC): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
4) أكمل: (BC) ... (HEB)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (BC) ... (HEB)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: B تنتمي إلى (HEB)، لكن C لا تنتمي إلى هذا المستوى، لذلك (BC) غير محتوى فيه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \not\subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (BC) ... (HEB).
✓ (BC) ... (HEB) يعطي الرمز الصحيح: \not\subset.
⚠️ الخطأ الشائع في (BC) ... (HEB): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
5) أكمل: M ... (OCB)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: M ... (OCB)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: M على [BC]، وB وC ينتميان إلى المستوى (OCB)، إذن كل نقطة من (BC) ومنها M تنتمي إلى (OCB).
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \in لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في M ... (OCB).
✓ M ... (OCB) يعطي الرمز الصحيح: \in.
⚠️ الخطأ الشائع في M ... (OCB): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
6) أكمل: (EF) ... (OHG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (EF) ... (OHG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: H وG وO يحددون مستوى يمر بالسقف الخلفي والقطر، بينما E وF في السقف الأمامي، فلا يكون (EF) محتوى فيه.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \not\subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (EF) ... (OHG).
✓ (EF) ... (OHG) يعطي الرمز الصحيح: \not\subset.
⚠️ الخطأ الشائع في (EF) ... (OHG): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
7) أكمل: C ... (OFB)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: C ... (OFB)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: المستوى (OFB) يمر بالمركز O وبالنقطتين F وB، ولا يمر بالرأس C في هذا الوضع.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \notin لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في C ... (OFB).
✓ C ... (OFB) يعطي الرمز الصحيح: \notin.
⚠️ الخطأ الشائع في C ... (OFB): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
8) أكمل: M ... (OFB)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: M ... (OFB)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: M على [BC] ويمر المستوى (OFB) بالقطر المرتبط بـB والمركز O، لذلك M في التمثيل المختار تقع على هذا المستوى.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \in لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في M ... (OFB).
✓ M ... (OFB) يعطي الرمز الصحيح: \in.
⚠️ الخطأ الشائع في M ... (OFB): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
9) أكمل: (DE) ... (OBC)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (DE) ... (OBC)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: D وE ليسا معا داخل المستوى (OBC) المحدد بالمركز O وبالحرف BC.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \not\subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (DE) ... (OBC).
✓ (DE) ... (OBC) يعطي الرمز الصحيح: \not\subset.
⚠️ الخطأ الشائع في (DE) ... (OBC): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
10) أكمل: (AO) ... (ACG)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (AO) ... (ACG)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: A وO وG على القطر AG، وA وC وG يحددون المستوى (ACG)، إذن (AO) محتوى في (ACG).
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (AO) ... (ACG).
✓ (AO) ... (ACG) يعطي الرمز الصحيح: \subset.
⚠️ الخطأ الشائع في (AO) ... (ACG): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
11) أكمل: (OG) ... (BHF)
📐 الخاصية المستعملة: نستعمل الرمز \(\in\) للنقطة مع مستوى أو مستقيم، ونستعمل \(\subset\) للمستقيم المحتوى في مستوى.
الخطوة 1: نقرأ التعبير المطلوب بدقة: (OG) ... (BHF)، ونحدد هل العنصر الأول نقطة أم مستقيم.
الخطوة 2: إذا كان العنصر نقطة نبحث هل تقع داخل المستوى المذكور، وإذا كان مستقيما نتحقق من نقطتين منه.
الخطوة 3: O على القطر BH في متوازي المستطيلات، وB وH وF يحددون المستوى (BHF)، إذن (OG) مرتبط بهذا المستوى عبر O وG في الرسم.
الخطوة 4: لذلك الرمز الصحيح في هذه الخانة هو \subset لأن الحكم مرتبط بنفس العناصر المذكورة في (OG) ... (BHF).
✓ (OG) ... (BHF) يعطي الرمز الصحيح: \subset.
⚠️ الخطأ الشائع في (OG) ... (BHF): اختيار الرمز من شكل الرسم فقط دون فحص النقاط المذكورة.
انقر على نقطة لمعرفة إحداثياتها. افتح سؤالا لإبراز عناصره.

مساعدة — التمرين 3 — الانتماء والاحتواء في متوازي مستطيلات

1️⃣ نقطة ومستوى

نقطة واحدة مشتركة تكفي لإثبات التقاطع بين مستقيم ومستوى إذا لم يكن المستقيم محتوى فيه.

مثال: إذا كانت \(B \in (SBD)\) و\(B \in (BC)\) فالتقاطع في \(B\).
لا تكتب \(\subset\) مع نقطة.

2️⃣ مستقيم محتوى

إذا كانت نقطتان من المستقيم تنتميان إلى المستوى، فالمستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.

مثال: \(S\) و\(B\) في \((SAB)\) إذن \((SB)\subset(SAB)\).
نقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.

3️⃣ التوازي في الفضاء

مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوى ولا يقطعه يكون موازيا لذلك المستوى.

مثال: \((BC)\parallel(AD)\) و\((AD)\subset(SAD)\).
لا تعتمد على الرسم وحده.

4️⃣ منهجية الحكم

  1. حدد العنصرين بدقة
  2. ابحث عن نقطة مشتركة
  3. افحص الاحتواء بنقطتين
  4. افحص التوازي عبر مستقيم داخل المستوى