التمرين 2 — صواب أو خطأ في هرم رباعي

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل هرما رباعيا \(SABCD\) قاعدته المربع \(ABCD\). أجب بصواب أو خطأ مع التعليل.
1) (AD) و (SBC) — متقاطعان؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AD) محدد بالنقطتين A و D، لذلك نبدأ بفحص موضع A و D بالنسبة إلى المستوى (SBC).
الخطوة 2: المستوى (SBC) محدد بالنقاط S, B, C. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AD).
الخطوة 3: النقطتان A وD ليستا في المستوى (SBC)، و(AD) لا يمر بأي نقطة من هذا الوجه، فلا توجد نقطة تقاطع مع (SBC).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: ليسا في نفس المستوى - الجواب خطأ. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SBC).
✓ (AD) و (SBC) : ليسا في نفس المستوى - الجواب خطأ.
⚠️ الخطأ: اعتبار (AD) قاطعا لأن D قريب من الوجه، بينما المستوى (SBC) محدد فقط بـ S وB وC.
2) (AB) و (SAC) — متقاطعان؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AB) محدد بالنقطتين A و B، لذلك نبدأ بفحص موضع A و B بالنسبة إلى المستوى (SAC).
الخطوة 2: المستوى (SAC) محدد بالنقاط S, A, C. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AB).
الخطوة 3: النقطة A تنتمي إلى (AB) وتنتمي إلى (SAC)، أما B فلا تنتمي إلى (SAC)، إذن (AB) يقطع (SAC) في A.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان في A - الجواب صواب. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SAC).
✓ (AB) و (SAC) : متقاطعان في A - الجواب صواب.
⚠️ الخطأ: القول إن (AB) محتوى في (SAC) بسبب وجود A فقط، ونقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.
3) (BC) و (SAD) — متوازيان؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (BC) محدد بالنقطتين B و C، لذلك نبدأ بفحص موضع B و C بالنسبة إلى المستوى (SAD).
الخطوة 2: المستوى (SAD) محدد بالنقاط S, A, D. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (BC).
الخطوة 3: في القاعدة المربعة ABCD لدينا (BC) ∥ (AD)، والمستقيم (AD) محتوى في المستوى (SAD)، إذن (BC) ∥ (SAD).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متوازيان - الجواب صواب. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SAD).
✓ (BC) و (SAD) : متوازيان - الجواب صواب.
⚠️ الخطأ: البحث عن تقاطع وهمي بين (BC) و(SAD) من الرسم المنظوري.
4) (BC) و (SBD) — متوازيان؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (BC) محدد بالنقطتين B و C، لذلك نبدأ بفحص موضع B و C بالنسبة إلى المستوى (SBD).
الخطوة 2: المستوى (SBD) محدد بالنقاط S, B, D. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (BC).
الخطوة 3: النقطة B تنتمي إلى (BC) وتنتمي إلى (SBD)، وC لا تنتمي إلى (SBD)، لذلك (BC) يقطع (SBD) في B ولا يوازيه.
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان في B - الجواب خطأ. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SBD).
✓ (BC) و (SBD) : متقاطعان في B - الجواب خطأ.
⚠️ الخطأ: الخلط بين السؤال السابق (SAD) وهذا المستوى (SBD) الذي يحتوي B.
5) (AC) و (SBD) — متقاطعان؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AC) محدد بالنقطتين A و C، لذلك نبدأ بفحص موضع A و C بالنسبة إلى المستوى (SBD).
الخطوة 2: المستوى (SBD) محدد بالنقاط S, B, D. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AC).
الخطوة 3: في المربع ABCD القطران (AC) و(BD) يتقاطعان في مركز القاعدة O، وبما أن (BD) محتوى في (SBD) فإن O تنتمي إلى (SBD).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: متقاطعان في مركز القاعدة - الجواب صواب. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SBD).
✓ (AC) و (SBD) : متقاطعان في مركز القاعدة - الجواب صواب.
⚠️ الخطأ: اعتبار (AC) خارج الوجه (SBD) كله ونسيان أن (BD) داخل هذا المستوى.
6) (AC) و (SAC) — محتوى؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (AC) محدد بالنقطتين A و C، لذلك نبدأ بفحص موضع A و C بالنسبة إلى المستوى (SAC).
الخطوة 2: المستوى (SAC) محدد بالنقاط S, A, C. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (AC).
الخطوة 3: النقطتان A وC تنتميان إلى المستوى (SAC)، والمستقيم (AC) محدد بهما، إذن كل المستقيم (AC) محتوى في (SAC).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: محتوى: (AC) \subset (SAC) - الجواب صواب. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SAC).
✓ (AC) و (SAC) : محتوى: (AC) \subset (SAC) - الجواب صواب.
⚠️ الخطأ: استعمال رمز الانتماء مع مستقيم؛ الصحيح هو \((AC)\subset(SAC)\).
7) (BD) و (SCD) — محتوى؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (BD) محدد بالنقطتين B و D، لذلك نبدأ بفحص موضع B و D بالنسبة إلى المستوى (SCD).
الخطوة 2: المستوى (SCD) محدد بالنقاط S, C, D. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (BD).
الخطوة 3: النقطة D تنتمي إلى (SCD)، لكن B لا تنتمي إلى (SCD)، لذلك لا يمكن أن يكون المستقيم (BD) محتوى في (SCD).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: غير محتوى - الجواب خطأ. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SCD).
✓ (BD) و (SCD) : غير محتوى - الجواب خطأ.
⚠️ الخطأ: الاكتفاء بالنقطة D المشتركة، بينما الاحتواء يحتاج نقطتين من المستقيم داخل المستوى.
8) (CD) و (SAB) — محتوى؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (CD) محدد بالنقطتين C و D، لذلك نبدأ بفحص موضع C و D بالنسبة إلى المستوى (SAB).
الخطوة 2: المستوى (SAB) محدد بالنقاط S, A, B. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (CD).
الخطوة 3: النقطتان C وD لا تنتميان إلى المستوى (SAB)، و(CD) يوازي (AB) فقط لأنه ضلع مقابل في القاعدة، لكنه غير محتوى في (SAB).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: غير محتوى - الجواب خطأ. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SAB).
✓ (CD) و (SAB) : غير محتوى - الجواب خطأ.
⚠️ الخطأ: الخلط بين التوازي مع مستوى والاحتواء في مستوى.
9) (SB) و (SAB) — محتوى؟
📐 الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيم نقطة مشتركة واحدة مع مستوى فهو قاطع له، وإذا كان موازيا لمستقيم محتوى في المستوى فهو مواز لذلك المستوى، وإذا كانت نقطتاه في المستوى فهو محتوى فيه.
الخطوة 1: المستقيم (SB) محدد بالنقطتين S و B، لذلك نبدأ بفحص موضع S و B بالنسبة إلى المستوى (SAB).
الخطوة 2: المستوى (SAB) محدد بالنقاط S, A, B. هذه النقاط هي المرجع الوحيد للحكم على العلاقة مع (SB).
الخطوة 3: النقطتان S وB من النقاط المحددة للمستوى (SAB)، والمستقيم (SB) محدد بهما، إذن (SB) محتوى في (SAB).
الخطوة 4: إذن العلاقة الصحيحة هي: محتوى: (SB) \subset (SAB) - الجواب صواب. لا نغيّر الحكم إلا إذا ظهرت نقطة مشتركة أو مستقيم مواز داخل (SAB).
✓ (SB) و (SAB) : محتوى: (SB) \subset (SAB) - الجواب صواب.
⚠️ الخطأ: اعتبار الحرف الجانبي خارج المستوى، بينما هو أحد أضلاع الوجه (SAB).
انقر على نقطة لمعرفة إحداثياتها. افتح سؤالا لإبراز عناصره.

مساعدة — التمرين 2 — صواب أو خطأ في هرم رباعي

1️⃣ نقطة ومستوى

نقطة واحدة مشتركة تكفي لإثبات التقاطع بين مستقيم ومستوى إذا لم يكن المستقيم محتوى فيه.

مثال: إذا كانت \(B \in (SBD)\) و\(B \in (BC)\) فالتقاطع في \(B\).
لا تكتب \(\subset\) مع نقطة.

2️⃣ مستقيم محتوى

إذا كانت نقطتان من المستقيم تنتميان إلى المستوى، فالمستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.

مثال: \(S\) و\(B\) في \((SAB)\) إذن \((SB)\subset(SAB)\).
نقطة واحدة لا تكفي للاحتواء.

3️⃣ التوازي في الفضاء

مستقيم يوازي مستقيما محتوى في مستوى ولا يقطعه يكون موازيا لذلك المستوى.

مثال: \((BC)\parallel(AD)\) و\((AD)\subset(SAD)\).
لا تعتمد على الرسم وحده.

4️⃣ منهجية الحكم

  1. حدد العنصرين بدقة
  2. ابحث عن نقطة مشتركة
  3. افحص الاحتواء بنقطتين
  4. افحص التوازي عبر مستقيم داخل المستوى