التمرين 1 — وضعيات مستقيمين في فضاء المكعب

هندسة الفضاء — السنة الثامنة أساسي
نص التمرين:
يمثل الشكل مكعبا \(ABCDEFGH\). النقطة \(M\) على \([EH]\)، و\(N\) على \([FG]\)، و\(J\) على \([DF]\).
ضع العلامة \(\times\) في الخانة المناسبة:
المستقيمان متوازيان متقاطعان ليسا في نفس المستوى
\((AC)\) و \((CG)\)×
\((AD)\) و \((GF)\)×
\((CG)\) و \((AB)\)×
\((CM)\) و \((AB)\)×
\((NJ)\) و \((FB)\)×
\((MJ)\) و \((CG)\)×
\((FC)\) و \((ED)\)×
\((FJ)\) و \((EH)\)×
1) \((AC)\) و \((CG)\)
📐 الخاصية المستعملة: مستقيمان يشتركان في نقطة واحدة → متقاطعان في تلك النقطة.
الخطوة 1 — تحديد النقاط: \(A, C\) نقطتان من المكعب تحددان المستقيم \((AC)\). \(C, G\) تحددان المستقيم \((CG)\).
الخطوة 2 — البحث عن نقطة مشتركة: النقطة \(C\) تنتمي إلى \((AC)\) لأنها أحد طرفيه. والنقطة \(C\) تنتمي إلى \((CG)\) لأنها أحد طرفيه. إذن \(C\) نقطة مشتركة بينهما.
الخطوة 3 — هل هما في نفس المستقيم؟ \((AC)\) هو قطر الوجه \(ABCD\) ويمتد داخل المكعب. \((CG)\) هو حرف رأسي. ليسا نفس المستقيم لأن لهما اتجاهين مختلفين.
الخطوة 4 — الاستنتاج: يشتركان في نقطة وحيدة هي \(C\) ولا ينطبقان → متقاطعان.
✓ \((AC)\) و \((CG)\) متقاطعان في النقطة \(C\).
⚠️ خطأ شائع: الظن بأنهما متوازيان لأن الرسم يبدو كذلك من زاوية معينة. الحكم دائما من تحديد النقطة المشتركة وليس من المظهر البصري.
2) \((AD)\) و \((GF)\)
📐 الخاصية المستعملة: في متوازي المستطيلات (والمكعب)، كل حرفين متقابلين ومتناظرين → متوازيان ومتساويان.
الخطوة 1 — تحديد موضع الحرفين: \((AD)\) هو حرف قاعدة المكعب بين \(A\) و\(D\). \((GF)\) هو حرف السقف بين \(G\) و\(F\). الوجه \(ADHE\) وجه جانبي والوجه \(BCGF\) هو الوجه المقابل له.
الخطوة 2 — البحث عن نقطة مشتركة: \(A, D\) رؤوس من الطابق السفلي. \(G, F\) رؤوس من الطابق العلوي. لا توجد أي نقطة مشتركة بينهما.
الخطوة 3 — هل هما في نفس المستوى؟ \((AD)\) و\((GF)\) كلاهما محتويان في المستوى \((ADGF)\) لأن \(A, D, G, F\) أربعة رؤوس من المكعب تحدد وجها (أو قطعا قطريا). إذن هما في نفس المستوى.
الخطوة 4 — لا تقاطع + نفس المستوى: بما أنهما في نفس المستوى ولا يتقاطعان → متوازيان. وهذا متوقع لأن \(AD \parallel GF\) كحرفين متقابلين في المكعب.
✓ \((AD) \parallel (GF)\) — متوازيان.
⚠️ خطأ شائع: القول بأنهما "ليسا في نفس المستوى" لأنهما لا يلتقيان. في الفضاء، عدم التلاقي وحده لا يعني التخالف — يجب أن يكونا غير محتوَيَين في أي مستوى مشترك.
3) \((CG)\) و \((AB)\)
📐 الخاصية المستعملة: مستقيمان في الفضاء إذا لم يتقاطعا ولم يكونا متوازيَين → ليسا في نفس المستوى (غير مستويَين أو متخالفَين).
الخطوة 1 — اتجاها المستقيمين: \((CG)\) حرف رأسي (اتجاه عمودي). \((AB)\) حرف قاعدة (اتجاه أفقي). اتجاهاهما مختلفان تماما → ليسا متوازيَين.
الخطوة 2 — هل يتقاطعان؟ \(C\) و\(G\) في العمود الأيمن الخلفي. \(A\) و\(B\) في القاعدة الأمامية. لا نقطة مشتركة بينهما → لا يتقاطعان.
الخطوة 3 — هل يوجد مستوى يحتويهما؟ كل مستوى يحتوي \((CG)\) يجب أن يمر بـ\(C\) و\(G\). أي مستوى يحتوي \((AB)\) يجب أن يمر بـ\(A\) و\(B\). لا يوجد مستوى واحد يمر بالنقاط الأربع \(A,B,C,G\) معا في المكعب (يمكن التحقق: هذه النقاط الأربع لا تقع في مستوى واحد).
الخطوة 4 — الاستنتاج: لا يتقاطعان + ليسا متوازيَين + لا يوجد مستوى يجمعهما → ليسا في نفس المستوى.
✓ \((CG)\) و \((AB)\) ليسا في نفس المستوى (مستقيمان متخالفان).
⚠️ خطأ شائع: الخلط بين "لا يتقاطعان" و"متوازيان". في الهندسة المستوية هذا صحيح، لكن في الفضاء يمكن أن يكونا "غير مستويَين".
4) \((CM)\) و \((AB)\)
📐 الخاصية المستعملة: \(M\) على \([EH]\) تعني \(M\) نقطة من حرف \([EH]\). للحكم على \((CM)\) نحدد أولا اتجاهها.
الخطوة 1 — تحديد \(M\): \(M \in [EH]\) إذن \(M\) نقطة بين \(E\) (رأس علوي أمامي أيسر) و\(H\) (رأس علوي خلفي أيسر). \((CM)\) إذن مستقيم يربط \(C\) (رأس قاعدة أيمن خلفي) بنقطة \(M\) في الطابق العلوي.
الخطوة 2 — اتجاه \((CM)\) مقارنة بـ\((AB)\): \((AB)\) له اتجاه أفقي بين الوجه الأمامي. \((CM)\) له اتجاه مائل من أسفل يمين خلف إلى أعلى يسار. اتجاهان مختلفان → ليسا متوازيَين.
الخطوة 3 — هل يتقاطعان؟ نبحث إذا كان لـ\((CM)\) و\((AB)\) نقطة مشتركة. \((AB)\) في قاعدة المكعب. \((CM)\) يبدأ من \(C\) في القاعدة ويصعد نحو \(M\). النقطة \(C \notin (AB)\) (ليست بين \(A\) و\(B\) على الاستقامة نفسها). \(M\) في الطابق العلوي بعيد عن \((AB)\). لا تقاطع.
الخطوة 4 — هل يوجد مستوى مشترك؟ \((CM)\) يمر بـ\(C\) و\(M\) و\(E\) (لأن \(M \in [EH]\) في الوجه العلوي الجانبي). \((AB)\) يمر بـ\(A\) و\(B\). لا مستوى واحد يضم هذه النقاط معا.
✓ \((CM)\) و \((AB)\) ليسا في نفس المستوى.
⚠️ خطأ شائع: اعتبار \((CM)\) وكأنها في وجه المكعب. \(M\) ليست رأسا من رؤوس المكعب بل نقطة على حرف، لذا يجب تحديد موضعها بدقة قبل الحكم.
5) \((NJ)\) و \((FB)\)
📐 الخاصية المستعملة: \(N\) على \([FG]\) و\(J\) على \([DF]\). المستقيم \((NJ)\) يربط نقطة على حرف السقف بنقطة على حرف جانبي. \((FB)\) هو قطر الوجه الجانبي \(BCGF\).
الخطوة 1 — تحديد \(N\) و\(J\): \(N \in [FG]\) أي \(N\) بين \(F\) و\(G\) في سقف المكعب. \(J \in [DF]\) أي \(J\) بين \(D\) (قاعدة) و\(F\) (سقف) على الحرف الأمامي الأيسر.
الخطوة 2 — هل \(J\) على \((FB)\)؟ \((FB)\) هو القطر من \(F\) إلى \(B\) في الوجه \(BCGF\). \(J \in [DF]\) لكن \(D\) ليس في الوجه \(BCGF\). الحرف \([DF]\) ليس في نفس المستوى مع \((FB)\). \(J \neq\) نقطة من \((FB)\).
الخطوة 3 — هل يتقاطعان في نقطة؟ \((NJ)\) يمر بـ\(N\) (على \([FG]\)) و\(J\) (على \([DF]\)). \((FB)\) يمر بـ\(F\) و\(B\). النقطة \(F\) مشتركة بين \([FG]\) و\([DF]\) و\((FB)\). هل \(F \in (NJ)\)؟ بما أن \(N \in [FG]\) و\(J \in [DF]\)، فإن مد \((NJ)\) يمر بـ\(F\) حين \(N\to F\) أو \(J\to F\). المستقيم \((NJ)\) يقطع \((FB)\) في \(F\).
الخطوة 4: نقطة مشتركة موجودة هي \(F\) → متقاطعان.
✓ \((NJ)\) و \((FB)\) متقاطعان في النقطة \(F\).
⚠️ خطأ شائع: نسيان أن \(F\) ينتمي إلى الحرفين \([FG]\) و\([DF]\) معا، وبالتالي أي مستقيم يمر بنقطة من \([FG]\) ونقطة من \([DF]\) يمر بـ\(F\).
6) \((MJ)\) و \((CG)\)
📐 الخاصية المستعملة: \(M \in [EH]\) و\(J \in [DF]\). \((CG)\) حرف رأسي في الوجه الأيمن الخلفي.
الخطوة 1 — تحديد المستقيمَين: \((MJ)\): \(M\) في الطابق العلوي على \([EH]\) (يسار)، \(J\) على \([DF]\) (أمام يسار). إذن \((MJ)\) مستقيم في الجزء الأيسر الأمامي من المكعب. \((CG)\): حرف رأسي في الزاوية اليمنى الخلفية.
الخطوة 2 — الاتجاهات: \((CG)\) عمودي (يرتفع من \(C\) لـ\(G\)). \((MJ)\) مائل بين يسار وأمام. اتجاهان مختلفان → ليسا متوازيَين.
الخطوة 3 — هل يتقاطعان؟ \(C\) و\(G\) في الجهة اليمنى الخلفية. \(M\) و\(J\) في الجهة اليسرى الأمامية. لا نقطة مشتركة جغرافيا بين الجهتين.
الخطوة 4 — هل يوجد مستوى مشترك؟ لا يوجد وجه من وجوه المكعب يحتوي \(C\) أو \(G\) مع \(M\) أو \(J\) في نفس الوقت. لا مستوى مشترك.
✓ \((MJ)\) و \((CG)\) ليسا في نفس المستوى.
⚠️ خطأ شائع: اعتبار أي مستقيم عمودي كـ\((CG)\) يتقاطع مع أي مستقيم مائل. التقاطع يتطلب نقطة مشتركة حقيقية.
7) \((FC)\) و \((ED)\)
📐 الخاصية المستعملة: في المكعب، القطران المتناظران في وجهين متوازيَين متوازيان ومتساويان.
الخطوة 1 — تحديد الوجهين: \((FC)\) هو قطر في الوجه الجانبي الأيمن \(BCGF\) (من \(F\) أعلى إلى \(C\) أسفل). \((ED)\) هو قطر في الوجه الجانبي الأيسر \(ADHE\) (من \(E\) أعلى إلى \(D\) أسفل).
الخطوة 2 — هل الوجهان متوازيان؟ \(BCGF \parallel ADHE\) لأنهما وجهان متقابلان في المكعب. إذن المسافة بينهما ثابتة.
الخطوة 3 — تطبيق خاصية التوازي: إذا قطع مستوى ثالث مستويَين متوازيَين، كانت مستقيما التقاطع متوازيَين. هنا: المستوى القاطع هو المستوى \((FCDE)\) الذي يقطع \(BCGF\) في \((FC)\) ويقطع \(ADHE\) في \((ED)\). إذن \((FC) \parallel (ED)\).
الخطوة 4 — تحقق إضافي: اتجاه \((FC)\): من \(F(+x,+y,-z)\) إلى \(C(+x,-y,+z)\) يعطي متجهة \((0,-2y,2z)\). اتجاه \((ED)\): من \(E(-x,+y,-z)\) إلى \(D(-x,-y,+z)\) يعطي نفس المتجهة \((0,-2y,2z)\). نفس الاتجاه → متوازيان.
✓ \((FC) \parallel (ED)\) — متوازيان.
⚠️ خطأ شائع: اعتبارهما متقاطعَين لأن شكل القطرين في الرسم يبدو متقاطعا. القطران هنا في وجهين مختلفين وليسا في نفس الوجه.
8) \((FJ)\) و \((EH)\)
📐 الخاصية المستعملة: \(J \in [DF]\). المستقيم \((FJ)\) هو نفسه المستقيم \((FD)\) لأن \(F, J, D\) ثلاث نقاط على استقامة واحدة.
الخطوة 1 — تبسيط \((FJ)\): بما أن \(J \in [DF]\)، فإن \(F\) و\(J\) و\(D\) ثلاثتها على نفس المستقيم \((FD)\). إذن \((FJ) = (FD)\) كمستقيم.
الخطوة 2 — تحديد \((EH)\): \((EH)\) حرف السقف الخلفي الأيسر، بين \(E\) و\(H\).
الخطوة 3 — هل \((FD)\) و\((EH)\) في نفس المستوى؟ \((FD)\) هو حرف أمامي جانبي (من \(F\) سقف أمامي أيمن إلى \(D\) قاعدة خلفية). \((EH)\) حرف سقف أيسر خلفي. كلاهما في المستوى \(DEGH\) أو في مستوى مشترك؟ \(F, D\) في الوجه \(ABDF\) أما \(E, H\) في الوجه \(EFGH\). هل \(F, D, E, H\) في مستوى واحد؟ نعم — هما كلاهما أقطار متناظرة في وجهَين متوازيَين → متوازيان، أو يمكن إيجاد نقطة تقاطع.
الخطوة 4 — البحث عن التقاطع: \((FD)\) يمر بـ\(F\) و\(D\). \((EH)\) يمر بـ\(E\) و\(H\). هل يوجد نقطة مشتركة؟ \(F\) و\(E\) رؤوس في السقف، \(D\) و\(H\) رؤوس في القاعدة. المستقيم \((FD)\) يقطع المستقيم \((EH)\) في نقطة يمكن حسابها. بالمعادلات البارامترية يتقاطعان.
✓ \((FJ)\) و \((EH)\) متقاطعان.
⚠️ خطأ شائع: نسيان أن \((FJ) = (FD)\) بسبب وجود \(J\) على \([DF]\). دائما بسّط المستقيم قبل الحكم عليه.
انقر على نقطة أو مستقيم لمعرفة خصائصه. افتح سؤالاً لإبراز عناصره.

مساعدة — وضعيات مستقيمين في الفضاء

1️⃣ متقاطعان

يوجد نقطة مشتركة وحيدة. المستقيمان في نفس المستوى.

مثال: \((AC)\) و\((CG)\) يشتركان في \(C\).
لا يكفي أن يلتقيا في الرسم — يجب التحقق من نقطة مشتركة حقيقية.

2️⃣ متوازيان

في نفس المستوى ولا يتقاطعان. لهما نفس الاتجاه.

مثال: \((AD) \parallel (GF)\) كحرفَين متقابلَين في المكعب.
يجب إثبات أنهما في مستوى مشترك وليس فقط أنهما لا يلتقيان.

3️⃣ ليسا في نفس المستوى

لا يتقاطعان + لا مستوى يحتويهما معا. يُسمّيان مستقيمين متخالفَين.

مثال: \((CG)\) و\((AB)\) — عمودي وأفقي في جهتين مختلفتين.
خاص بالفضاء! في المستوى كل مستقيمين لا يتقاطعان هما متوازيان.

4️⃣ منهجية الحل

  1. حدد النقاط المحددة للمستقيمَين
  2. ابحث عن نقطة مشتركة → متقاطعان
  3. إذا لا تقاطع: ابحث عن مستوى مشترك
  4. إذا وجد مستوى → متوازيان
  5. إذا لا مستوى مشترك → ليسا في نفس المستوى