يمثل الشكل مكعبا \(ABCDEFGH\). النقطة \(M\) على \([EH]\)، و\(N\) على \([FG]\)، و\(J\) على \([DF]\). ضع العلامة \(X\) في الخانة المناسبة: متوازيان، متقاطعان، أو ليسا في نفس المستوى.
1) \((AC)\) و \((CG)\)
الخطوة 1: المستقيم \((AC)\) قطر في الوجه السفلي \((ABCD)\).
الخطوة 2: المستقيم \((CG)\) حرف رأسي يمر من النقطة \(C\).
الخطوة 3: المستقيمان يشتركان في النقطة \(C\)، ولا نحتاج إلى نقطة ثانية للحكم بالتقاطع.
الخاصية المستعملة: إذا كان لمستقيمين نقطة مشتركة واحدة فهما متقاطعان في تلك النقطة، بشرط أن تكون النقطة ظاهرة من تعريف المستقيمين.
النتيجة: \((AC)\) و \((CG)\) متقاطعان في \(C\).
خطأ شائع: اعتبارهما غير مستويين لأن أحدهما قطر والآخر حرف؛ وجود النقطة المشتركة \(C\) يكفي للحكم بالتقاطع.
2) \((AD)\) و \((GF)\)
الخطوة 1: المستقيم \((AD)\) حرف من الوجه السفلي \((ABCD)\).
الخطوة 2: المستقيم \((GF)\) حرف من الوجه العلوي \((EFGH)\) وله نفس اتجاه \((AD)\).
الخطوة 3: بما أن الوجهين \((ABCD)\) و \((EFGH)\) متوازيان، فالحرفان المتناظران \((AD)\) و \((GF)\) متوازيان.
الخاصية المستعملة: في المكعب أو متوازي المستطيلات: الأحرف المتقابلة والمتناظرة تكون متوازية، وإذا كان مستقيمان في مستوى واحد لا يلتقيان فهما متوازيان.
النتيجة: \((AD)//(GF)\) إذن هما متوازيان.
خطأ شائع: القول إنهما متخالفان فقط لأنهما في وجهين مختلفين؛ في المكعب توجد أحرف في وجهين مختلفين لكنها متوازية.
3) \((CG)\) و \((AB)\)
الخطوة 1: المستقيم \((CG)\) حرف رأسي خلفي.
الخطوة 2: المستقيم \((AB)\) حرف أفقي أمامي/سفلي.
الخطوة 3: لا توجد نقطة مشتركة بينهما، واتجاههما مختلف؛ فلا يمكن أن يكونا متوازيين ولا متقاطعين.
الخاصية المستعملة: في الفضاء: مستقيمان لا يتقاطعان وليسا متوازيين لا يكونان في مستوى واحد، ويسميان غير مستويين/متخالفين.
النتيجة: \((CG)\) و \((AB)\) ليسا في نفس المستوى.
خطأ شائع: كل مستقيمين لا يلتقيان ليسا بالضرورة متوازيين؛ هذه قاعدة صحيحة في المستوى فقط لا في الفضاء.
4) \((CM)\) و \((AB)\)
الخطوة 1: النقطة \(M\) على الحرف \([EH]\)، لذلك المستقيم \((CM)\) يربط رأسا سفليا بنقطة في الحرف العلوي الخلفي/الجانبي.
الخطوة 2: المستقيم \((AB)\) حرف في الوجه السفلي.
الخطوة 3: لا يمر \((CM)\) من \(A\) أو \(B\)، ولا له نفس اتجاه \((AB)\)، ولا يوجد وجه واضح يحتويهما معا.
الخاصية المستعملة: في الفضاء: مستقيمان لا يتقاطعان وليسا متوازيين لا يكونان في مستوى واحد، ويسميان غير مستويين/متخالفين.
النتيجة: \((CM)\) و \((AB)\) ليسا في نفس المستوى.
خطأ شائع: رسم المستقيم \((CM)\) على الشاشة قد يبدو قريبا من \((AB)\)، لكن القرب في الرسم لا يعني التقاطع في الفضاء.
5) \((NJ)\) و \((FB)\)
الخطوة 1: النقطة \(N\) على \([FG]\)، والنقطة \(J\) على \([DF]\).
الخطوة 2: المستقيم \((FB)\) هو حرف رأسي في الوجه \((ABFE)\).
الخطوة 3: المستقيم \((NJ)\) يمر من نقطة على \([FG]\) إلى نقطة على \([DF]\)، ولا يمر من \(F\) أو \(B\)، ولا يوازي \((FB)\).
الخاصية المستعملة: في الفضاء: مستقيمان لا يتقاطعان وليسا متوازيين لا يكونان في مستوى واحد، ويسميان غير مستويين/متخالفين.
النتيجة: \((NJ)\) و \((FB)\) ليسا في نفس المستوى.
خطأ شائع: الاعتقاد أن كل مستقيم يمر قرب الحرف \([FB]\) يقطعه؛ التقاطع يحتاج نقطة مشتركة مثبتة.
6) \((MJ)\) و \((CG)\)
الخطوة 1: النقطة \(M\) على \([EH]\)، والنقطة \(J\) على \([DF]\).
الخطوة 2: المستقيم \((CG)\) حرف رأسي خلفي.
الخطوة 3: \((MJ)\) لا يمر من \(C\) ولا من \(G\)، واتجاهه ليس اتجاه الحرف الرأسي \((CG)\).
الخاصية المستعملة: في الفضاء: مستقيمان لا يتقاطعان وليسا متوازيين لا يكونان في مستوى واحد، ويسميان غير مستويين/متخالفين.
النتيجة: \((MJ)\) و \((CG)\) ليسا في نفس المستوى.
خطأ شائع: استعمال المنظور البصري للحكم؛ في الفضاء يجب إثبات نقطة مشتركة أو توازي أو مستوى حامل.
7) \((FC)\) و \((ED)\)
الخطوة 1: \((FC)\) هو حرف رأسي في الوجه \((BCGF)\).
الخطوة 2: \((ED)\) هو حرف رأسي في الوجه \((ADHE)\).
الخطوة 3: الحرفان الرأسيان في المكعب لهما نفس الاتجاه، ولذلك هما متوازيان.
الخاصية المستعملة: في المكعب أو متوازي المستطيلات: الأحرف المتقابلة والمتناظرة تكون متوازية، وإذا كان مستقيمان في مستوى واحد لا يلتقيان فهما متوازيان.
النتيجة: \((FC)//(ED)\) إذن هما متوازيان.
خطأ شائع: نسيان أن الأحرف الرأسية الأربعة في المكعب كلها متوازية.
8) \((FJ)\) و \((EH)\)
الخطوة 1: النقطة \(J\) موضوعة على الحرف \([DF]\)، إذن \(F,J,D\) على استقامة واحدة.
الخطوة 2: المستقيم \((FJ)\) هو نفس المستقيم \((FD)\).
الخطوة 3: \((EH)\) حرف علوي له نفس اتجاه \((FD)\) في المكعب، لذلك هما متوازيان.
الخاصية المستعملة: في المكعب أو متوازي المستطيلات: الأحرف المتقابلة والمتناظرة تكون متوازية، وإذا كان مستقيمان في مستوى واحد لا يلتقيان فهما متوازيان.
النتيجة: \((FJ)//(EH)\) إذن هما متوازيان.
خطأ شائع: اعتبار \((FJ)\) مستقيما جديدا مختلف الاتجاه؛ بما أن \(J\in[DF]\)، فإن \((FJ)=(FD)\).
مساعدة هندسة الفضاء
مستقيم داخل مستوى
إذا كانت نقطتان من مستقيم تنتميان إلى مستوى فإن المستقيم كله محتوى في ذلك المستوى.
توازي مستقيم ومستوى
إذا كان مستقيم موازيا لمستقيم محتوى في مستوى ولا يقطعه فهو مواز لذلك المستوى.
تقاطع مستويين
إذا كان مستويان غير منطبقين ولهما نقطة مشتركة فإن تقاطعهما مستقيم.
مستقيمان غير مستويين
في الفضاء قد لا يتقاطع مستقيمان ولا يكونان متوازيين لأنهما ليسا في نفس المستوى.