سلسلة مراجعة الهندسة (الرباعيات والفضاء)

تمرين عدد 1: الدائرة والرباعيات

ابنِ دائرة \(\mathcal{C}\) مركزها \(O\) وعين عليها النقطة \(A\). ابنِ \(\Delta\) الموسط العمودي لـ \([OA]\). \(\Delta\) يقطع \(\mathcal{C}\) في نقطتين \(B\) و \(D\).
  1. بيّن أن \(OBAD\) معين.
  2. المستقيم \((OB)\) يقطع \(\mathcal{C}\) في \(M\) و \((OD)\) يقطعها في \(N\). بيّن أن \(BDMN\) مستطيل.
  3. بيّن أن \(OABN\) معين.
1) بما أن \(\Delta\) موسط عمودي لـ \([OA]\)، فإن \(BA=BO\) و \(DA=DO\). وبما أن \(BO=DO\) (أنصاف أقطار)، فإن الأضلاع الأربعة متقايسة، إذن هو معين.
2) القطران \([BM]\) و \([DN]\) هما أقطار في الدائرة، فهما متقايسان ويتقاطعان في المركز \(O\)، إذن الرباعي مستطيل.

تمرين عدد 2: التوازي والرباعيات

ارسم مثلثاً \(ABC\) متقايس الضلعين في \(A\). عيّن \(I\) منتصف \([BC]\). المستقيم المار من \(A\) والموازي لـ \((BC)\) يقطع المستقيم المار من \(I\) والموازي لـ \((AB)\) في \(L\).
  1. بيّن أن \(ABIL\) متوازي أضلاع.
  2. بيّن أن \((AI) \perp (BC)\).
  3. بيّن أن \(AJCI\) مستطيل.
1) الرباعي فيه كل ضلعين متقابلين متوازيان حسب المعطيات، إذن هو متوازي أضلاع.
2) في مثلث متقايس الضلعين، الموسط الصادر من القمة الرئيسية هو أيضاً ارتفاع، إذن \((AI) \perp (BC)\).

تمرين عدد 3: حساب الأطوال والزوايا

ارسم متوازي أضلاع \(ABCD\) حيث \(AB=4\) و \(AD=2\) و \(\widehat{ABC} = 60^\circ\). عين النقطة \(O\) منتصف \([AC]\) و \(E\) منتصف \([AB]\) و \(F\) منتصف \([CD]\).
  1. بيّن أن \(AEFD\) معين واحسب محيطه.
  2. ما هي طبيعة المثلث \(AFD\)؟ علل جوابك.
  3. بيّن أن \(AOFK\) مستطيل.
1) بما أن \(AE = \frac{1}{2}AB = 2\) و \(AD=2\)، والرباعي متوازي أضلاع بضلعين متجاورين متقايسين، فهو معين. المحيط = \(2 \times 4 = 8\).

تمرين فضاء: متوازي المستطيلات

ليكن \(ABCDEFGH\) متوازي مستطيلات حيث \(M \in [GC]\) و \(N \in [BF]\).
  1. أكمل بالرمز المناسب: \(M \dots (ADG)\)، \((HM) \dots (EFG)\).
  2. بيّن أن \((MN)\) و \((BC)\) متقاطعان.
  3. ما هي الوضعية النسبية للمستقيمين \((HM)\) و \((BC)\)؟.
1) \(M \notin (ADG)\) و \((HM) \not\subset (EFG)\).
2) المستقيمان ينتميان لنفس المستوي الوجهي \((BCGF)\) وغير متوازيين، فهما متقاطعان.