التوازي في الفضاء • الهرم المنتظم • قطر متوازي المستطيلات
1) إذا كان \( \Delta' // \Delta \) و \( \Delta \perp P \) فإن \( \Delta' \perp P \)
2) إذا كان \( P // Q \) و \( \Delta \perp P \) فإن \( \Delta \perp Q \)
1) المستقيم (BC) يعامد المستوي (DCG) ويوازي المستقيم (AD) إذن (AD) يعامد المستوي (DCG).
2) لدينا (DCG) و (ABF) متوازيان والمستقيم (BC) يعامد المستوي (DCG) إذن المستقيم (BC) يعامد المستوي (ABF).
— مستويان عموديّان على نفس المستقيم هما مستويان متوازيان
— مستقيمان عموديّان على نفس المستوي هما مستقيمان متوازيان
في متوازي المستطيلات ABCDEFGH كل الأقطار [EC] و [HB] و [AG] و [DF] متقابسة وقيس كل قطر يساوي:
قيس طول قطر متوازي مستطيلات أبعاده 3 و 4 و 5 هو:
\[ d = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]
قيس طول قطر مكعّب قيس طول حرفه \(a\) يساوي \(a\sqrt{3}\).
1) مضلّع منتظم هو مضلّع أضلاعه متقابسة وزواياه متقابسة. مثال: المربّع؛ المثلّث متقابس الأضلاع
2) الهرم المنتظم هو هرم مضلّعه قاعدته منتظم حيث تنتمي قمّته إلى المستقيم العمودي على مستوى القاعدة في مركز الدائرة المحيطة بها.
في الهرم المنتظم، الأوجه الجانبية تمثّل مثلثات متقابسة وكل منها مثلّث متقابس الضلعين قمّته الرئيسية قمّة الهرم.
في الهرم المنتظم إذا كان h ارتفاعه و r شعاع الدائرة المحيطة بقاعدته فإنّ قيس طول كل حرف من أحرفه الجانبية يساوي:
في الموشور القائم ABCDEF الممثّل بالرسم المقابل، DEF و ABC مثلثان قائما الزاوية في F و C، I منتصف [AC] و J منتصف [AB].
في المثلث ABC لدينا I منتصف [AC] و J منتصف [AB] إذن (IJ) // (BC).
لدينا (IJ) يوازي (BC) والمستقيم (BC) محتو في المستوي (BCD) إذن (IJ) يوازي (BCD).
لدينا: (BC) ⊥ (AC) (معطى) لأن BCFE وجه جانبي للموشور القائم إذن هو مستطيل.
(BC) ⊥ (CF) لأن BCFE مستطيل.
(AC) و (CF) مستقيمان من المستوي (ADC) ويتقاطعان في النقطة C.
إذن المستقيم (BC) يعامد المستوي (ADC) في C.
لدينا (IJ) يوازي (BC) و (BC) يعامد المستوي (ADC) إذن (IJ) يعامد المستوي (ADC).
المستقيم (IJ) يعامد المستوي (ADC) في I ويمرّ من I إذن (IJ) ⊥ (IF) في هذا المستوي وبالتالي المثلث IFJ هو مثلّث قائم في I.
حساب IJ²:
في المثلث ABC: IJ = ½ BC وبما أن BC = EF = 4 (لأن BCFE مستطيل) فإن IJ = ½ × 4 = 2
حساب IF²:
المثلث ICF قائم في F. بما أن I منتصف [AC]: \( CI = \frac{3}{2} \) (لأن CA = DF = 3) و CF = DA = 4
حساب JF:
المثلث IJF قائم في I: \( JF^2 = IJ^2 + IF^2 = 4 + \frac{73}{4} = \frac{16+73}{4} = \frac{89}{4} \)
SABCD هرم منتظم ارتفاعه SO = 6 وقاعدته مربّع ABCD مركزه O بحيث AB = 4.
لدينا ABCD مربّع قيس ضلعه 4 إذن قيس قطره [AC] يساوي \(4\sqrt{2}\).
وبما أن O منتصف [AC]: \( OA = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \times 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)
حساب SA: لدينا SABCD هرم منتظم قمّته S ومركز قاعدته O. المستقيم (SO) يعامد المستوي (ABC) في O وبما أن (OA) محتو في هذا المستوي فالمثلث SOA قائم في O.
\( SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{36+8} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11} \)
SABCD هرم منتظم، SBC مثلّث متقابس الضلعين قمّته S. وبما أن H منتصف [BC] فالمثلث SHB قائم في H.
بحيث: SB = \(2\sqrt{11}\) و BH = ½ BC = ½ × 4 = 2
\( SH^2 = SB^2 - BH^2 = (2\sqrt{11})^2 - 2^2 = 44 - 4 = 40 \)
بما أن SABCD هرم منتظم، المستقيم (SO) يعامد المستوي (ABC) في O وبما أن (OA) محتو في هذا المستوي فـ (SO) ⊥ (OA) ويمرّ من O فالمثلث SOA قائم في O.
ونعلم أن I منتصف وتره [SA] إذن: \( IO = IA = IS = \frac{1}{2}SA = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{11} = \sqrt{11} \)
SABCD هرم منتظم قاعدته مربّع ABCD مركزه O و M منتصف [BC] بحيث BC = 12 و SM = 8.
SABCD هرم منتظم، SBC مثلّث متقابس الضلعين قمّته S. وبما أن M منتصف [BC] فإن [SM] هو الارتفاع الصادر من S في المثلث SBC:
المساحة الجملية للهرم: SABCD له 4 أوجه جانبية كلها مثلثات متقابسة مساحة كل منها 48 وقاعدة مربّعة:
\( S_{ABCD} = BC^2 = 12^2 = 144 \)
المثلث SMB قائم في M: SM = 8 و BM = ½ BC = 6
\( SB^2 = SM^2 + BM^2 = 64 + 36 = 100 \)
لحساب SO: \( SO^2 = SB^2 - OB^2 \). لدينا OB = ½ BD. قطر ABCD: \(BD = 12\sqrt{2}\) إذن \(OB = 6\sqrt{2}\)
\( SO^2 = 100 - (6\sqrt{2})^2 = 100 - 72 = 28 \)
الحجم: \( V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \times SO = \frac{1}{3} \times 144 \times 2\sqrt{7} = 96\sqrt{7} \)
بما أن SABCD هرم منتظم، (SO) يعامد المستوي (ABC) في O. (OM) محتو في هذا المستوي فـ (SO) ⊥ (OM) ويمرّ من O فالمثلث SOM قائم في O. H هو المسقط العمودي لـ O على (SM).
أولاً نحدّد OM: في المثلث ABC، O منتصف [AC] و M منتصف [BC] إذن \(OM = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \times 12 = 6\)
\( OH = \frac{OS \times OM}{SM} = \frac{2\sqrt{7} \times 6}{8} = \frac{12\sqrt{7}}{8} = \frac{3\sqrt{7}}{2} \)
المثلث OHM قائم في H: \( HM^2 = OM^2 - OH^2 = 36 - \frac{63}{4} = \frac{144-63}{4} = \frac{81}{4} \)
المثلث HMB قائم في M: \( HB^2 = MH^2 + MB^2 = \left(\frac{9}{2}\right)^2 + 6^2 = \frac{81}{4} + 36 = \frac{81+144}{4} = \frac{225}{4} \)
طبيعة المثلث OBH: في المثلث OBH لدينا:
\( OB^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72 \) ؛ \( HB^2 = \frac{225}{4} \) ؛ \( OH^2 = \frac{63}{4} \)
\( HB^2 + OH^2 = \frac{225}{4} + \frac{63}{4} = \frac{288}{4} = 72 = OB^2 \)
OB هو أكبر الأبعاد. بحسب نظرية بيتاغور العكس: المثلث OBH قائم و[OB] وتره أي قائم في H.