الهندسة في الفضاء — السنة التاسعة

1. التوازي في الفضاء

خاصيات أساسية

خاصية 1: إذا كان مستقيمان متوازيان، فكل مستقيم يوازي أحدهما يوازي الآخر.

خاصية 2: إذا كان مستويان متوازيان وقطعهما مستوٍ ثالث، فالمستقيمان الناتجان متوازيان.

خاصية 3: إذا كان مستقيم $(D)$ يوازي مستقيماً $(D')$ من مستوٍ $(P)$، فإن $(D)$ يوازي المستوي $(P)$.

2. أقطار متوازي المستطيلات

متوازي المستطيلات $ABCDEFGH$ ذو الأبعاد $a$، $b$، $c$ يحتوي على أربعة أقطار متقايسة تتقاطع في نقطة واحدة هي مركز التماثل.

طول القطر: $$d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$$

3. الهرم المنتظم

تعريف: الهرم المنتظم هو هرم قاعدته مضلع منتظم ومسقط رأسه على القاعدة هو مركز هذا المضلع.

عناصره:

القاعدة: مضلع منتظم (مربع، مثلث متقايس الأضلاع، …)
الرأس: $S$
الارتفاع: $[SO]$ حيث $O$ مركز القاعدة
الذراع (apothème): $[SM]$ حيث $M$ منتصف ضلع من القاعدة
الحرف الجانبي: $[SA]$ مثلاً

الحجم: $$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h$$

1 الموشور القائم ABCDEF

$ABCDEF$ موشور قائم قاعدته مثلث متقايس الأضلاع $ABC$ بحيث $AB = 4$ والارتفاع $AD = 5$.

$J$ منتصف $[AD]$.

احسب الطول $JF$.

التصحيح

المثلث $JDF$ قائم في $D$ (لأن $[AD]$ عمودي على القاعدة العليا $DEF$).

$DF = 4$ (ضلع المثلث المتقايس الأضلاع $DEF$).

$JD = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{5}{2}$

حسب نظرية فيثاغورس في $JDF$: $$JF^2 = JD^2 + DF^2 = \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + 4^2 = \dfrac{25}{4} + 16 = \dfrac{89}{4}$$

$JF = \dfrac{\sqrt{89}}{2}$

2 الهرم المنتظم SABCD — الحالة الأولى

$SABCD$ هرم منتظم قاعدته مربع $ABCD$ بحيث $AB = 4$ والارتفاع $SO = 6$.

أ. احسب نصف قطر الدائرة المحيطة بالقاعدة، أي $OA$.

ب. استنتج طول الحرف الجانبي $SA$.

ج. احسب حجم الهرم.

التصحيح

أ. $O$ هو مركز المربع $ABCD$ ذي الضلع $4$.
قطر المربع $AC = AB\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
$OA = \dfrac{AC}{2} = 2\sqrt{2}$

ب. المثلث $SOA$ قائم في $O$ (لأن $[SO]$ عمودي على القاعدة).
حسب نظرية فيثاغورس: $$SA^2 = SO^2 + OA^2 = 36 + 8 = 44$$

$SA = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$

ج. مساحة القاعدة: $\mathcal{A} = 4 \times 4 = 16$
$$V = \dfrac{1}{3} \times 16 \times 6 = 32$$

$V = 32 \text{ وحدة حجم}$

3 الهرم المنتظم SABCD — الحالة الثانية

$SABCD$ هرم منتظم قاعدته مربع $ABCD$ بحيث $BC = 12$ وذراع الهرم (apothème) $SM = 8$ حيث $M$ منتصف $[BC]$.

أ. احسب مساحة الوجه الجانبي ثم مساحة كل الأوجه الجانبية.

ب. احسب الارتفاع $SO$ ثم استنتج حجم الهرم.

ج. $H$ المسقط العمودي للنقطة $O$ على $[SM]$. احسب $OH$ ثم $HM$.

د. احسب $HB$ وبيّن أن المثلث $OHB$ قائم.

التصحيح

أ. الوجه الجانبي مثلث متقايس الساقين قاعدته $BC = 12$ وارتفاعه $SM = 8$.
$\mathcal{A}_{\text{وجه}} = \dfrac{12 \times 8}{2} = 48$
مجموع الأوجه الجانبية الأربعة: $4 \times 48 = 192$

المساحة الجانبية الكلية = $192$

ب. $O$ مركز المربع، $M$ منتصف $[BC]$، إذن $OM = \dfrac{BC}{2} = 6$.
المثلث $SOM$ قائم في $O$: $$SO^2 = SM^2 - OM^2 = 64 - 36 = 28 \;\Rightarrow\; SO = 2\sqrt{7}$$ مساحة القاعدة $= 12 \times 12 = 144$ $$V = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 2\sqrt{7} = 96\sqrt{7}$$

$V = 96\sqrt{7}$ وحدة حجم

ج. في المثلث القائم $SOM$، $OH$ هو الارتفاع من $O$ على الوتر $[SM]$.
المساحة: $\dfrac{SO \times OM}{2} = \dfrac{SM \times OH}{2}$ $$OH = \dfrac{SO \times OM}{SM} = \dfrac{2\sqrt{7} \times 6}{8} = \dfrac{3\sqrt{7}}{2}$$ $$HM^2 = OM^2 - OH^2 = 36 - \dfrac{63}{4} = \dfrac{81}{4} \;\Rightarrow\; HM = \dfrac{9}{2}$$

$OH = \dfrac{3\sqrt{7}}{2}$ · $HM = \dfrac{9}{2}$

د. $M$ منتصف $[BC]$ والمثلث $OBC$ متقايس الساقين، إذن $OM \perp BC$ وَ $MB = 6$.
$OB$ هو نصف قطر الدائرة المحيطة بالمربع: $OB = \dfrac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2}$.
في المثلث $HMB$ القائم في $M$: $$HB^2 = HM^2 + MB^2 = \dfrac{81}{4} + 36 = \dfrac{225}{4} \;\Rightarrow\; HB = \dfrac{15}{2}$$

لإثبات أن $OHB$ قائم: نتحقق من نظرية فيثاغورس العكسية.
$OH^2 + HB^2 = \dfrac{63}{4} + \dfrac{225}{4} = \dfrac{288}{4} = 72$
$OB^2 = (6\sqrt{2})^2 = 72$

$OH^2 + HB^2 = OB^2$ ⟹ المثلث $OHB$ قائم في $H$