نعتبر منشوراً قائماً \(ABCEFG\) قاعدته المثلّث \(ABC\) القائم الزاوية في \(A\) حيث \(AC=2\) و\(BC=2\sqrt{5}\). النقاط \(E\) و\(F\) و\(G\) تقع فوق \(A\) و\(B\) و\(C\) على التوالي.
لتكن \(J\) منتصف \([EF]\) بحيث يكون المثلّث \(ABJ\) متقايس الأضلاع، ولتكن \(O\) منتصف \([AJ]\).
1. بيّن أنّ \(AB=4\) و\(OB=2\sqrt{3}\).
2. أ) بيّن أنّ \((AJ)\) عمودي على \((CA)\).
ب) استنتج \(CO\).
3. أ) بيّن أنّ المثلّث \(COB\) قائم الزاوية.
ب) بيّن أنّ \((OB)\) عمودي على المستوي \((CAJ)\).
4. لتكن \(I\) منتصف \([FG]\).
أ) بيّن أنّ \((IJ)\) يوازي \((AC)\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(BOI\) قائم الزاوية.
السؤال 1: بيّن أنّ \(AB=4\) و\(OB=2\sqrt{3}\).
نظرية فيثاغورس في المثلّث \(ABC\) القائم الزاوية في \(A\).
\(AB^2 = BC^2 - AC^2 = (2\sqrt{5})^2 - 2^2 = 20 - 4 = 16\)، إذن \(AB = 4\).
المثلّث \(ABJ\) متقايس الأضلاع وضلعه \(AB=4\)، إذن \(AJ = 4\) و\(AO = \dfrac{AJ}{2} = 2\). القطعة \([BO]\) هي متوسّط المثلّث المتعلّق بـ\([AJ]\) فهي أيضاً ارتفاع، أي المثلّث \(ABO\) قائم الزاوية في \(O\).
حسب نظرية فيثاغورس: \(OB^2 = AB^2 - AO^2 = 16 - 4 = 12\)، إذن \(OB = 2\sqrt{3}\).
✓ \(AB = 4\) و\(OB = 2\sqrt{3}\).
⚠️ \((2\sqrt{5})^2 = 4\times 5 = 20\) وليس \(10\)؛ يجب تربيع المعامل والجذر معاً.
السؤال 2: أ) بيّن أنّ \((AJ)\) عمودي على \((CA)\). ب) استنتج \(CO\).
أ) إذا كان مستقيم عمودياً على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
بما أنّ المنشور قائم فإنّ الحرف \((AE)\) عمودي على القاعدة \((ABC)\)، ومنه \((CA) \perp (AE)\). وبما أنّ المثلّث \(ABC\) قائم في \(A\) فإنّ \((CA) \perp (AB)\). المستقيمان \((AE)\) و\((AB)\) متقاطعان في \(A\) ومحتويان في المستوي \((ABFE)\)، إذن \((CA) \perp (ABFE)\).
النقطة \(J \in [EF] \subset (ABFE)\)، إذن \((AJ) \subset (ABFE)\)، وبما أنّ \((CA) \perp (ABFE)\) فإنّ \((CA) \perp (AJ)\).
ب) بما أنّ \((CA) \perp (AJ)\) و\(O \in (AJ)\) فإنّ المثلّث \(CAO\) قائم الزاوية في \(A\). حسب فيثاغورس: \(CO^2 = CA^2 + AO^2 = 2^2 + 2^2 = 8\)، إذن \(CO = 2\sqrt{2}\).
✓ \((AJ) \perp (CA)\) و\(CO = 2\sqrt{2}\).
⚠️ لا يكفي أنّ \((CA) \perp (AB)\) وحدها؛ يجب إثبات عمودية \((CA)\) على مستقيمين متقاطعين \((AB)\) و\((AE)\) لاستنتاج عموديتها على المستوي كلّه ثمّ على \((AJ)\).
السؤال 3: أ) بيّن أنّ المثلّث \(COB\) قائم الزاوية. ب) بيّن أنّ \((OB)\) عمودي على المستوي \((CAJ)\).
أ) عكس نظرية فيثاغورس.
لدينا \(CO^2 = 8\) و\(OB^2 = (2\sqrt{3})^2 = 12\) و\(CB^2 = BC^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20\).
\(CO^2 + OB^2 = 8 + 12 = 20 = CB^2\)، إذن حسب عكس نظرية فيثاغورس المثلّث \(COB\) قائم الزاوية في \(O\).
ب) إذا كان مستقيم عمودياً على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
في المثلّث المتقايس الأضلاع \(ABJ\)، القطعة \([BO]\) متوسّط متعلّق بـ\([AJ]\) فهي ارتفاع أيضاً، إذن \((OB) \perp (AJ)\). ومن السؤال السابق \((OB) \perp (OC)\).
المستقيمان \((AJ)\) و\((OC)\) متقاطعان في \(O\) ومحتويان في المستوي \((CAJ)\) (لأنّ \(A, C, J, O\) نقاط من هذا المستوي)، إذن \((OB) \perp (CAJ)\).
✓ المثلّث \(COB\) قائم في \(O\) و\((OB) \perp (CAJ)\).
⚠️ الوتر هو أطول ضلع \(CB = 2\sqrt{5}\)، فالزاوية القائمة مقابلة له أي في \(O\) وليست في \(C\) أو \(B\).
السؤال 4: لتكن \(I\) منتصف \([FG]\). أ) بيّن أنّ \((IJ)\) يوازي \((AC)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(BOI\) قائم الزاوية.
أ) مبرهنة المنتصفات في المثلّث \(EFG\) (الوجه العلوي).
\(J\) منتصف \([EF]\) و\(I\) منتصف \([FG]\)، إذن \((IJ) // (EG)\) و\(IJ = \dfrac{EG}{2}\).
الوجه \(ACGE\) مستطيل لأنّ المنشور قائم، إذن \((EG) // (AC)\)، وبالتالي \((IJ) // (AC)\).
ب) إذا كان مستقيم عمودياً على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
بما أنّ \((IJ) // (AC)\) و\((AC) \subset (CAJ)\) و\(J \in (CAJ)\)، فإنّ \((IJ) \subset (CAJ)\)، ومنه \(I \in (CAJ)\) وبالتالي \((OI) \subset (CAJ)\).
من السؤال 3 لدينا \((OB) \perp (CAJ)\)، وبما أنّ \((OI) \subset (CAJ)\) فإنّ \((OB) \perp (OI)\)، أي المثلّث \(BOI\) قائم الزاوية في \(O\).
✓ \((IJ) // (AC)\) والمثلّث \(BOI\) قائم الزاوية في \(O\).
⚠️ العمودية على المستوي \((CAJ)\) تعطي مباشرة \((OB) \perp (OI)\)؛ ويمكن التحقّق عددياً: \(BO^2 + OI^2 = 12 + 5 = 17 = BI^2\).