نعتبر هرمًا منتظمًا \(SABCD\) قاعدته المربّع \(ABCD\) ومركزه \(O\) ورأسه \(S\). النقطة \(M\) تنتمي إلى \([SD]\)، بحيث \(AB=3\sqrt{2}\) سم و\(SC=5\) سم و\(OM=3\) سم.
1) أحسب البعد \(AC\) ثمّ استنتج \(OS\).
2) أ) بيّن أنّ \((AC)\perp(SBD)\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\) ثمّ أحسب \(CM\).
3) أ) بيّن أنّ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\).
ب) استنتج أنّ \(AM=MC\).
4) أحسب \(V\) حجم الهرم \(SABCD\).
السؤال 1: أحسب البعد \(AC\) ثمّ استنتج \(OS\).
قطر المربّع يُحسب بالعلاقة \(AC = AB\sqrt{2}\)، ثمّ نظرية فيثاغورس في المثلّث \(SOC\) القائم في \(O\).
\(AC = AB\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\times\sqrt{2} = 3\times 2 = 6\) سم.
النقطة \(O\) مركز المربّع أي منتصف القطر \([AC]\)، إذن \(OC = \dfrac{AC}{2} = 3\). الارتفاع \((SO)\) عمودي على القاعدة فالمثلّث \(SOC\) قائم الزاوية في \(O\): \(OS^2 = SC^2 - OC^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16\)، إذن \(OS = 4\).
✓ \(AC = 6\) سم و\(OS = 4\) سم.
⚠️ القطر لا يساوي الضلع: \(AC \neq AB\)؛ استعمل \(AC = AB\sqrt{2}\) وليس \(AC = AB\).
السؤال 2: أ) بيّن أنّ \((AC)\perp(SBD)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\) ثمّ أحسب \(CM\).
إذا كان مستقيم عموديًا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
في المربّع القطران متعامدان: \((AC)\perp(BD)\). كما أنّ الارتفاع \((SO)\) عمودي على القاعدة و\((AC)\subset(ABCD)\)، إذن \((AC)\perp(SO)\).
المستقيمان \((BD)\) و\((SO)\) متقاطعان في \(O\) وينتميان إلى المستوي \((SBD)\)، و\((AC)\) عمودي عليهما، إذن \((AC)\perp(SBD)\).
بما أنّ \(O\in[BD]\) و\(M\in[SD]\) فإنّ \((OM)\subset(SBD)\)، ومنه \((OC)\perp(OM)\) لأنّ \((OC)\subset(AC)\)؛ فالمثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\). حسب فيثاغورس: \(CM^2 = OC^2 + OM^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\)، إذن \(CM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
✓ \((AC)\perp(SBD)\)، المثلّث \(OMC\) قائم في \(O\) و\(CM = 3\sqrt{2}\) سم.
⚠️ استعمل نصف القطر \(OC = 3\) وليس القطر الكامل \(AC = 6\) في حساب \(CM\).
السؤال 3: أ) بيّن أنّ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\). ب) استنتج أنّ \(AM=MC\).
في مثلّث، إذا كان طول الوسيط المتعلّق بضلع يساوي نصف ذلك الضلع فإنّ المثلّث قائم الزاوية في الرأس المقابل لهذا الضلع.
في المثلّث \(AMC\)، النقطة \(O\) منتصف \([AC]\) و\([MO]\) وسيط، مع \(MO = OM = 3 = \dfrac{AC}{2}\).
الوسيط \(MO\) يساوي نصف الضلع \([AC]\)، إذن المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\).
وبما أنّ \((AC)\perp(SBD)\) و\((MO)\subset(SBD)\) و\(O\) منتصف \([AC]\)، فإنّ المستوي \((SBD)\) هو المستوي الواسط العمودي للقطعة \([AC]\)، فكلّ نقطة منه تبعُد بالتساوي عن \(A\) و\(C\)؛ إذن \(MA = MC\). وبالحساب: \(AM^2 + MC^2 = AC^2 = 36\) ومع \(AM = MC\) نجد \(2AM^2 = 36\) أي \(AM = MC = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
✓ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\) و\(AM = MC = 3\sqrt{2}\) سم.
⚠️ المثلّث \(AMC\) متساوي الساقين وقائم فقط، وليس متقايس الأضلاع؛ الوتر \([AC]=6\) أطول من الساقين.
السؤال 4: أحسب \(V\) حجم الهرم \(SABCD\).
حجم الهرم يساوي ثلث جداء مساحة القاعدة في الارتفاع: \(V = \dfrac{1}{3}\times \mathcal{A}_{\text{القاعدة}}\times h\).
مساحة المربّع \(ABCD\) هي \(AB^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9\times 2 = 18\) سم\(^2\)، والارتفاع هو \(SO = 4\) سم.
\(V = \dfrac{1}{3}\times 18 \times 4 = \dfrac{72}{3} = 24\) سم\(^3\).
✓ \(V = 24\) سم\(^3\).
⚠️ \((3\sqrt{2})^2 = 9\times 2 = 18\) وليس \(6\)؛ والارتفاع هو \(SO = 4\) لا الحرف الجانبي \(SC = 5\).