نعتبر هرمًا \(SABC\) قاعدته المثلّث \(ABC\) المتقايس الضلعين رأسه \(A\) (أي \(AB=AC\)). لتكن \(E\) منتصف الحرف \([SA]\) و\(F\) منتصف الضلع \([BC]\). نفترض أنّ \([SF]\) هو ارتفاع الهرم وأنّ \(SA \neq BC\).
1. بيّن أنّ المستقيم \((BC)\) عمودي على المستوي \((SAF)\).
2. استنتج أنّ \((EF)\perp(BC)\) وأنّ المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\).
3. بيّن أنّ \(EF=\dfrac{SA}{2}\) و\(CF=\dfrac{BC}{2}\).
4. استنتج طبيعة المثلّث \(CEF\).
السؤال 1: بيّن أنّ المستقيم \((BC)\) عمودي على المستوي \((SAF)\).
في المثلّث المتقايس الضلعين، المتوسط الصادر من الرأس الرئيسي هو أيضا ارتفاع؛ ثمّ: إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
بما أنّ المثلّث \(ABC\) متقايس الضلعين رأسه \(A\) و\(F\) منتصف \([BC]\)، فإنّ المتوسط \((AF)\) هو أيضا ارتفاع، أي \((AF)\perp(BC)\).
وبما أنّ \([SF]\) ارتفاع الهرم فإنّ \((SF)\perp(ABC)\)، و\((BC)\subset(ABC)\)، إذن \((SF)\perp(BC)\).
المستقيمان \((AF)\) و\((SF)\) متقاطعان في \(F\) ومحتوَيان في المستوي \((SAF)\)، و\((BC)\) عمودي عليهما معًا.
✓ إذن \((BC)\perp(SAF)\).
⚠️ العمود على مستقيم واحد لا يكفي: لا بدّ من العمودية على مستقيمين متقاطعين \((AF)\) و\((SF)\) من المستوي \((SAF)\)، كما أنّ \((AF)\perp(BC)\) صحيحة هنا لأنّ المثلّث متقايس الضلعين فقط.
السؤال 2: استنتج أنّ \((EF)\perp(BC)\) وأنّ المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي.
النقطة \(E\) تنتمي إلى \([SA]\subset(SAF)\) والنقطة \(F\) تنتمي إلى \((SAF)\)، إذن المستقيم \((EF)\subset(SAF)\).
وبما أنّ \((BC)\perp(SAF)\) (السؤال 1)، فإنّ \((BC)\) عمودي على كلّ مستقيم من \((SAF)\)، ومنه \((EF)\perp(BC)\).
النقطة \(F\) تنتمي إلى \([BC]\)، فالمستقيم \((FC)\) محمول على \((BC)\)، إذن \((EF)\perp(FC)\).
✓ \((EF)\perp(BC)\) والمثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\).
⚠️ الزاوية القائمة في \(F\) وليست في \(E\): العمودية بين \((EF)\) و\((FC)\) هي التي تعطي الرأس القائم \(F\).
السؤال 3: بيّن أنّ \(EF=\dfrac{SA}{2}\) و\(CF=\dfrac{BC}{2}\).
في مثلّث قائم الزاوية، طول المتوسط المتعلق بالوتر يساوي نصف طول الوتر.
بما أنّ \((SF)\perp(ABC)\) و\((AF)\subset(ABC)\) فإنّ \((SF)\perp(AF)\)، إذن المثلّث \(SFA\) قائم الزاوية في \(F\) ووتره \([SA]\).
النقطة \(E\) منتصف الوتر \([SA]\)، فالمتوسط \([FE]\) الصادر من الرأس القائم \(F\) يساوي نصف الوتر: \(EF=\dfrac{SA}{2}\).
النقطة \(F\) منتصف \([BC]\)، إذن \(CF=\dfrac{BC}{2}\).
✓ \(EF=\dfrac{SA}{2}\) و\(CF=\dfrac{BC}{2}\).
⚠️ خاصية «المتوسط يساوي نصف الوتر» تُطبَّق فقط على المتوسط المتعلق بالوتر في مثلّث قائم، وليس على أيّ متوسط آخر.
السؤال 4: استنتج طبيعة المثلّث \(CEF\).
مقارنة ضلعَي الزاوية القائمة لتحديد طبيعة المثلّث القائم.
من السؤال 2، المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\)، وضلعا القائمة هما \([EF]\) و\([CF]\).
من السؤال 3: \(EF=\dfrac{SA}{2}\) و\(CF=\dfrac{BC}{2}\)، وبما أنّ \(SA\neq BC\) فإنّ \(EF\neq CF\)؛ فالضلعان القائمان غير متقايسين.
✓ المثلّث \(CEF\) قائم الزاوية في \(F\) فقط (ليس متقايس الضلعين ولا متقايس الأضلاع).
⚠️ كون المثلّث قائمًا لا يجعله بالضرورة متقايس الضلعين؛ فبما أنّ \(SA\neq BC\) اختلف طولا ضلعَي القائمة فاستُبعد الخياران «متقايس الضلعين» و«متقايس الأضلاع».