نعتبر هرمًا ثلاثيًّا \(SABC\) قاعدته المثلّث \(ABC\) القائم والمتقايس الضلعين في \(B\)، وارتفاعه الحرف \([SA]\)، حيث \(SA=AB=3\sqrt{2}\).
لتكن \(M\) و\(N\) على التوالي منتصفَي الحرفين \([SC]\) و\([SB]\).
1. أحسب الأبعاد \(AC\) و\(SB\) و\(SC\).
2. أ) بيّن أنّ المثلّث \(SBC\) قائم الزاوية في \(B\).
ب) بيّن أنّ المثلّث \(MAB\) متقايس الضلعين.
3. أ) بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوي \((SAB)\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(NBC\) قائم الزاوية في \(B\).
السؤال 1: أحسب الأبعاد \(AC\) و\(SB\) و\(SC\).
المثلّث \(ABC\) قائم في \(B\) والحرف \([SA]\) عمودي على القاعدة \((ABC)\) فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذه القاعدة؛ نطبّق نظرية فيثاغورس. وبما أنّ \(ABC\) متقايس الضلعين في \(B\) فإنّ \(BC=AB=3\sqrt{2}\).
في المثلّث \(ABC\) القائم في \(B\): \(AC^2 = AB^2 + BC^2 = (3\sqrt{2})^2 + (3\sqrt{2})^2 = 18 + 18 = 36\)، إذن \(AC = 6\).
بما أنّ \((SA)\perp(ABC)\) فإنّ \((SA)\perp(AB)\)، والمثلّث \(SAB\) قائم في \(A\): \(SB^2 = SA^2 + AB^2 = 18 + 18 = 36\)، إذن \(SB = 6\).
كذلك \((SA)\perp(AC)\) والمثلّث \(SAC\) قائم في \(A\): \(SC^2 = SA^2 + AC^2 = 18 + 36 = 54\)، إذن \(SC = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}\).
✓ \(AC = 6\) و\(SB = 6\) و\(SC = 3\sqrt{6}\).
⚠️ لا تنسَ تربيع الجذر: \((3\sqrt{2})^2 = 3^2\times 2 = 18\) وليس \(6\)؛ يجب تربيع المعامل والجذر معًا.
السؤال 2: أ) بيّن أنّ المثلّث \(SBC\) قائم الزاوية في \(B\). ب) بيّن أنّ المثلّث \(MAB\) متقايس الضلعين.
أ) عكس نظرية فيثاغورس. ب) في كلّ مثلّث قائم الزاوية يكون منتصف الوتر على البُعد نفسه من الرؤوس الثلاثة (بُعده يساوي نصف الوتر).
أ) لدينا \(SB^2 + BC^2 = 6^2 + (3\sqrt{2})^2 = 36 + 18 = 54 = SC^2\)، إذن حسب عكس نظرية فيثاغورس المثلّث \(SBC\) قائم الزاوية في \(B\).
ب) \(M\) منتصف الوتر \([SC]\) في المثلّث \(SAC\) القائم في \(A\)، إذن \(MA = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
و\(M\) منتصف الوتر \([SC]\) في المثلّث \(SBC\) القائم في \(B\)، إذن \(MB = \dfrac{SC}{2} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\).
✓ المثلّث \(SBC\) قائم في \(B\)، و\(MA = MB = \dfrac{3\sqrt{6}}{2}\) إذن المثلّث \(MAB\) متقايس الضلعين.
⚠️ خاصيّة منتصف الوتر تُطبَّق هنا لأنّ \([SC]\) وترٌ في مثلّثين قائمين مختلفين: \(SAC\) القائم في \(A\) و\(SBC\) القائم في \(B\).
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((BC)\) عمودي على المستوي \((SAB)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(NBC\) قائم الزاوية في \(B\).
إذا كان مستقيمٌ عموديًّا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على هذا المستوي.
أ) \((BC)\perp(AB)\) لأنّ المثلّث \(ABC\) قائم في \(B\)، و\((BC)\perp(SA)\) لأنّ \((SA)\perp(ABC)\). والمستقيمان \((AB)\) و\((SA)\) متقاطعان في \(A\) وهما من المستوي \((SAB)\)، إذن \((BC)\perp(SAB)\).
ب) بما أنّ \(N\) منتصف \([SB]\) فإنّ \((NB)\subset(SB)\subset(SAB)\)؛ وبما أنّ \((BC)\perp(SAB)\) فإنّ \((BC)\) عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي، ومنه \((BC)\perp(NB)\).
✓ \((BC)\perp(SAB)\)، والمثلّث \(NBC\) قائم الزاوية في \(B\).
⚠️ لا يكفي التعامد مع مستقيم واحد؛ لإثبات \((BC)\perp(SAB)\) يجب التعامد مع مستقيمين متقاطعين من المستوي \((SAB)\).