نعتبر هرمًا منتظمًا \(SABCD\) قاعدته المربّع \(ABCD\) ومركزه \(O\)، وهو مركز الدائرة المحيطة بالمربّع \(ABCD\). نرمز بـ \(r\) إلى شعاع هذه الدائرة، أي \(r = OA\)، ونرمز بـ \(h\) إلى ارتفاع الهرم، أي \(h = SO\).
نفترض أنّ ارتفاع الهرم يساوي ضعف شعاع الدائرة المحيطة بقاعدته، أي \(h = 2r\).
1. بيّن أنّ طول الحرف الجانبي \(SA\) يُعطى بالعلاقة \(SA = \sqrt{h^2 + r^2}\).
2. استنتج طول الحرف الجانبي \(SA\) بدلالة \(h\).
السؤال 1: بيّن أنّ طول الحرف الجانبي \(SA\) يُعطى بالعلاقة \(SA = \sqrt{h^2 + r^2}\).
بما أنّ الهرم منتظم فإنّ رأسه \(S\) يعلو مركز القاعدة \(O\)، فارتفاعه \((SO)\) عمودي على مستوي القاعدة \((ABCD)\). وإذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فهو عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي، وخاصّة \((OA)\). إذن المثلّث \(SOA\) قائم الزاوية في \(O\).
بتطبيق نظرية فيثاغورس في المثلّث \(SOA\) القائم الزاوية في \(O\): \(SA^2 = SO^2 + OA^2 = h^2 + r^2\).
✓ \(SA = \sqrt{h^2 + r^2}\).
⚠️ الزاوية القائمة عند المركز \(O\) وليست عند \(A\)؛ لأنّ \((SO)\) هو الارتفاع العمودي على القاعدة وليس \((SA)\).
السؤال 2: استنتج طول الحرف الجانبي \(SA\) بدلالة \(h\).
نستعمل العلاقة \(SA = \sqrt{h^2 + r^2}\) مع المعطى \(h = 2r\). من \(h = 2r\) نستنتج \(r = \dfrac{h}{2}\).
\(SA^2 = h^2 + r^2 = h^2 + \left(\dfrac{h}{2}\right)^2 = h^2 + \dfrac{h^2}{4} = \dfrac{5h^2}{4}\).
إذن \(SA = \sqrt{\dfrac{5h^2}{4}} = \dfrac{h\sqrt{5}}{2}\).
✓ \(SA = \dfrac{h\sqrt{5}}{2}\).
⚠️ \(\left(\dfrac{h}{2}\right)^2 = \dfrac{h^2}{4}\) وليس \(\dfrac{h^2}{2}\)؛ يجب تربيع البسط والمقام معًا.