نعتبر هرما رباعيّا منتظما \(SABCD\) قاعدته المربّع \(ABCD\) الذي مركزه \(O\)، حيث \(AB=4\) و\(SA=6\).
1. بيّن أنّ قطر القاعدة \(AC=4\sqrt{2}\).
2. احسب \(AO\) ثمّ بيّن أنّ \((SO)\) عمودي على مستوي القاعدة \((ABCD)\).
3. احسب \(h=SO\) ارتفاع الهرم.
السؤال 1: بيّن أنّ قطر القاعدة \(AC=4\sqrt{2}\).
القاعدة \(ABCD\) مربّع ضلعه \(4\)، فالمثلّث \(ABC\) قائم الزاوية في \(B\)؛ نطبّق نظرية فيثاغورس على القطر \([AC]\).
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32\)، إذن \(AC = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}\).
✓ \(AC = 4\sqrt{2}\).
⚠️ قطر المربّع ليس ضعف الضلع: \(AC \neq 2\times AB = 8\)، بل \(AC = AB\sqrt{2}\) حسب فيثاغورس.
السؤال 2: احسب \(AO\) ثمّ بيّن أنّ \((SO)\) عمودي على مستوي القاعدة \((ABCD)\).
النقطة \(O\) مركز المربّع أي منتصف القطر \([AC]\). وفي الهرم الرباعي المنتظم يقع الرأس \(S\) على العمود المقام من مركز القاعدة، أي \((SO)\) عمودي على \((ABCD)\).
\(AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\).
بما أنّ الهرم \(SABCD\) رباعي منتظم فإنّ مسقط الرأس \(S\) عموديّا على القاعدة هو المركز \(O\)، إذن \((SO) \perp (ABCD)\).
✓ \(AO = 2\sqrt{2}\) و\((SO) \perp (ABCD)\).
⚠️ لا تخلط بين نصف القطر \(AO = 2\sqrt{2}\) ونصف الضلع الذي يساوي \(2\)؛ فالنقطة \(O\) منتصف القطر لا منتصف الضلع.
السؤال 3: احسب \(h=SO\) ارتفاع الهرم.
إذا كان مستقيم عموديا على مستوٍ فإنه عمودي على كلّ مستقيم من هذا المستوي: بما أنّ \((SO) \perp (ABCD)\) و\((OA) \subset (ABCD)\) فإنّ \((SO) \perp (OA)\)، فالمثلّث \(SOA\) قائم الزاوية في \(O\) ووتره \([SA]\).
حسب نظرية فيثاغورس: \(SA^2 = SO^2 + OA^2\)، إذن \(h^2 = SO^2 = SA^2 - OA^2 = 6^2 - (2\sqrt{2})^2 = 36 - 8 = 28\).
\(h = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}\).
✓ ارتفاع الهرم \(h = SO = 2\sqrt{7}\).
⚠️ \((2\sqrt{2})^2 = 2^2 \times 2 = 8\) وليس \(4\)؛ يجب تربيع المعامل والجذر معا. والإجابة الصحيحة من بين المقترحات هي \(2\sqrt{7}\).