يمثّل الرسم المنظور التالي مجسّما مكوّنا من مكعّب \(ABCDEFGH\) قيس طول حرفه \(2\sqrt{6}\) صم، وهرم رباعيّ منتظم قاعدته \(ADHE\) (أحد أوجه المكعّب)، رأسه \(S\) وارتفاعه \(SO=2\sqrt{6}\) صم حيث \(O\) مركز الوجه \(ADHE\).
1. أحسب البعد \(AO\) ثمّ استنتج أنّ \(SA=6\).
2. لتكن \(I\) منتصف قطر المكعّب \([AG]\).
أ) أحسب البعد \(AI\).
ب) أحسب البعد \(OI\).
3. أ) بيّن أنّ \((GH)\parallel(SO)\).
ب) بيّن أنّ النقاط \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
4. استنتج أنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
السؤال 1: أحسب البعد \(AO\) ثمّ استنتج أنّ \(SA=6\).
القاعدة \(ADHE\) مربّع قيس ضلعه \(2\sqrt{6}\)، و\(O\) مركزه أي منتصف قطريه؛ نطبّق نظرية فيثاغورس في المثلّث \(ADH\) القائم في \(D\) لحساب القطر \(AH\).
\(AH^2 = AD^2 + DH^2 = (2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{6})^2 = 24 + 24 = 48\)، إذن \(AH = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)، ومنه \(AO = \dfrac{AH}{2} = 2\sqrt{3}\).
بما أنّ \((SO)\) عموديّ على المستوي \((ADHE)\) و\((OA)\subset(ADHE)\) فإنّ \((SO)\perp(OA)\)، فالمثلّث \(SOA\) قائم الزاوية في \(O\). حسب فيثاغورس: \(SA^2 = SO^2 + OA^2 = (2\sqrt{6})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 24 + 12 = 36\).
✓ \(AO = 2\sqrt{3}\) و\(SA = \sqrt{36} = 6\).
⚠️ \((2\sqrt{3})^2 = 4\times 3 = 12\) وليس \(6\)؛ يجب تربيع العدد \(2\) والجذر \(\sqrt{3}\) معا.
السؤال 2: لتكن \(I\) منتصف قطر المكعّب \([AG]\). أ) أحسب \(AI\). ب) أحسب \(OI\).
أ) \([AG]\) قطر المكعّب و\(I\) منتصفه. في المكعّب \(AG^2 = AB^2 + AD^2 + AE^2\) (تطبيق مضاعف لنظرية فيثاغورس).
\(AG^2 = (2\sqrt{6})^2 \times 3 = 24 \times 3 = 72\)، إذن \(AG = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)، ومنه \(AI = \dfrac{AG}{2} = 3\sqrt{2}\).
ب) \(O\) منتصف \([AH]\) (قطر الوجه \(ADHE\)) و\(I\) منتصف \([AG]\)؛ في المثلّث \(AHG\) نطبّق مبرهنة المنتصفات.
\((OI)\parallel(HG)\) و\(OI = \dfrac{HG}{2} = \dfrac{2\sqrt{6}}{2} = \sqrt{6}\).
✓ \(AI = 3\sqrt{2}\) و\(OI = \sqrt{6}\).
⚠️ قطر المكعّب \(AG = a\sqrt{3}\) وليس قطر الوجه \(a\sqrt{2}\)؛ لا تخلط بين قطر المربّع وقطر المكعّب.
السؤال 3: أ) بيّن أنّ \((GH)\parallel(SO)\). ب) بيّن أنّ النقاط \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
أ) إذا كان مستقيمان عموديّين على نفس المستوي فهما متوازيان.
الحرف \((GH)\) عموديّ على الوجه \((ADHE)\) لأنّه عموديّ على الحرفين المتقاطعين \((HE)\) و\((HD)\) من هذا الوجه؛ وارتفاع الهرم \((SO)\) عموديّ على قاعدته \((ADHE)\). فهما عموديّان على نفس المستوي، إذن \((GH)\parallel(SO)\).
ب) من مبرهنة المنتصفات (السؤال 2-ب) لدينا \((OI)\parallel(GH)\)، وقد بيّنّا \((SO)\parallel(GH)\).
إذن \((OI)\parallel(SO)\)، ولهما النقطة \(O\) مشتركة، فهما مستقيم واحد.
✓ \((GH)\parallel(SO)\)، والنقاط \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة.
⚠️ التوازي هنا ناتج عن التعامد مع نفس المستوي؛ ومستقيمان متوازيان لهما نقطة مشتركة يكونان منطبقين، وهذا ما يبرّر استقامة النقاط.
السؤال 4: استنتج أنّ المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
بما أنّ \(S\) و\(O\) و\(I\) على استقامة واحدة و\(O\) بين \(S\) و\(I\)، فإنّ \(SI = SO + OI\)؛ ثمّ نستعمل عكس نظرية فيثاغورس.
\(SI = SO + OI = 2\sqrt{6} + \sqrt{6} = 3\sqrt{6}\)، إذن \(SI^2 = (3\sqrt{6})^2 = 9\times 6 = 54\).
\(SA^2 + AI^2 = 6^2 + (3\sqrt{2})^2 = 36 + 18 = 54\).
✓ بما أنّ \(SI^2 = SA^2 + AI^2 = 54\)، فحسب عكس نظرية فيثاغورس المثلّث \(ASI\) قائم الزاوية في \(A\).
⚠️ الوتر هو أطول ضلع \([SI]\)، فالزاوية القائمة مقابلة له أي في الرأس \(A\)، لا في \(S\) أو \(I\).