نعتبر هرما منتظما \(SABCD\) قاعدته المربّع \(ABCD\) و\(O\) مركزه، والنقطة \(M \in [SD]\).
المعطيات: \(OM = 3\,cm\) و\(AB = 3\sqrt{2}\,cm\) و\(SC = 5\,cm\).
1. أحسب البعد \(AC\) ثمّ استنتج \(OS\).
2. أ) بيّن أنّ \((AC) \perp (SBD)\).
ب) استنتج أنّ المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\) ثمّ أحسب \(CM\).
3. أ) بيّن أنّ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\).
ب) استنتج أنّ \(AM = MC\).
4. أحسب \(V\) حجم الهرم \(SABCD\).
السؤال 1: أحسب البعد \(AC\) ثمّ استنتج \(OS\).
قاعدة الهرم \(ABCD\) مربّع فقطره \(AC = AB\sqrt{2}\)؛ ولأنّ الهرم منتظم فإنّ \((SO) \perp (ABCD)\) والمثلّث \(SOC\) قائم الزاوية في \(O\).
\(AC = AB\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 3 \times 2 = 6\)؛ والنقطة \(O\) منتصف القطر \([AC]\) إذن \(OC = \dfrac{AC}{2} = 3\).
نظرية فيثاغورس في المثلّث \(SOC\): \(SC^2 = SO^2 + OC^2\) أي \(25 = SO^2 + 9\)، فيكون \(SO^2 = 16\) ومنه \(SO = 4\).
✓ \(AC = 6\,cm\) و\(OS = 4\,cm\).
⚠️ \(SC = 5\) هو الحرف الجانبي وليس الارتفاع؛ الارتفاع \(SO\) يُستنتج بفيثاغورس في \(SOC\) ولا يساوي \(SC\).
السؤال 2: أ) بيّن أنّ \((AC) \perp (SBD)\). ب) استنتج أنّ المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\) ثمّ أحسب \(CM\).
إذا كان مستقيم عموديا على مستقيمين متقاطعين من مستوٍ فهو عمودي على ذلك المستوي، وحينئذ يكون عموديا على كلّ مستقيمات المستوي.
أ) قطرا المربّع متعامدان إذن \((AC) \perp (BD)\)؛ وبما أنّ \((SO) \perp (ABCD)\) و\((AC) \subset (ABCD)\) فإنّ \((AC) \perp (SO)\). والمستقيمان \((BD)\) و\((SO)\) متقاطعان في \(O\) ومحتويان في \((SBD)\)، ومنه \((AC) \perp (SBD)\).
ب) بما أنّ \(M \in [SD]\) فإنّ \((OM) \subset (SBD)\)؛ ولأنّ \((AC) \perp (SBD)\) فإنّ \((OC) \perp (OM)\)، أي المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\).
نظرية فيثاغورس: \(CM^2 = OC^2 + OM^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18\)، إذن \(CM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}\).
✓ \((AC) \perp (SBD)\)، المثلّث \(OMC\) قائم الزاوية في \(O\)، و\(CM = 3\sqrt{2}\,cm\).
⚠️ لا يكفي \((AC) \perp (BD)\) وحده لاستنتاج العمودية على المستوي؛ يلزم مستقيمان متقاطعان من \((SBD)\)، لذلك أُضيف \((AC) \perp (SO)\).
السؤال 3: أ) بيّن أنّ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\). ب) استنتج أنّ \(AM = MC\).
الخاصية العكسية للمتوسط: إذا كان طول المتوسط المتعلّق بضلع في مثلّث يساوي نصف طول ذلك الضلع فإنّ المثلّث قائم الزاوية وذلك الضلع وتره.
أ) في المثلّث \(AMC\)، النقطة \(O\) منتصف \([AC]\) فالقطعة \([MO]\) هي المتوسط المتعلّق بالضلع \([AC]\)؛ ولدينا \(OM = 3\) و\(\dfrac{AC}{2} = \dfrac{6}{2} = 3\)، إذن \(OM = \dfrac{AC}{2}\). ومنه المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\) ووتره \([AC]\).
ب) نظرية فيثاغورس في \(AMC\) القائم في \(M\): \(AM^2 = AC^2 - MC^2 = 6^2 - (3\sqrt{2})^2 = 36 - 18 = 18\)، إذن \(AM = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} = MC\).
✓ المثلّث \(AMC\) قائم الزاوية في \(M\) و\(AM = MC = 3\sqrt{2}\,cm\).
⚠️ \((3\sqrt{2})^2 = 3^2 \times 2 = 18\) وليس \(6\)؛ يجب تربيع المعامل والجذر معا عند حساب \(AM\).
السؤال 4: أحسب \(V\) حجم الهرم \(SABCD\).
حجم الهرم: \(V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\) حيث \(\mathcal{B}\) مساحة القاعدة و\(h\) الارتفاع \(SO\).
مساحة القاعدة المربّعة: \(\mathcal{B} = AB^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \times 2 = 18\,cm^2\).
الارتفاع \(SO = 4\,cm\) (من السؤال 1)، إذن \(V = \dfrac{1}{3} \times 18 \times 4 = \dfrac{72}{3} = 24\,cm^3\).
✓ \(V = 24\,cm^3\).
⚠️ الارتفاع المستعمل هو \(SO = 4\) وليس الحرف الجانبي \(SC = 5\)؛ استعمال \(5\) يعطي حجما خاطئا.